Задача №13930

Вычеркните в числе $89767581$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $18\text{,}$ если оно делится на $2$ и на $9$ одновременно.

1. Сумма цифр исходного числа:

2. Чтобы итоговое число делилось на $2\text{,}$ его последняя цифра должна быть чётной. По условию нужно вычеркнуть ровно три цифры, поэтому последней цифрой нового числа может стать только одна из цифр на позициях с 5-й по 8-ю в исходном числе (так как справа должно остаться ноль цифр, а вычеркнуть можно не более трёх).

Рассмотрим эти цифры:
1. 5-я позиция — $7$ (нечётная);
2. 6-я позиция — $5$ (нечётная);
3. 7-я позиция — $8$ (чётная);
4. 8-я позиция — $1$ (нечётная).

Следовательно, последней цифрой нового числа должна быть $8$ на 7-й позиции. Для этого необходимо вычеркнуть цифру $1$ на 8-й позиции.

3. Теперь вычеркнута одна цифра, осталось вычеркнуть ещё две цифры из первых шести так, чтобы сумма цифр итогового числа делилась на $9\text{.}$ Сумма цифр нового числа должна удовлетворять условию: $51-X$ делится на $9\text{,}$ где $X$ — сумма всех вычеркнутых цифр.

Так как $51\equiv 6(\mathrm{mod}9)\text{,}$ то и сумма вычеркнутых цифр должна давать остаток $6$ при делении на $9\text{:}$

Поскольку мы уже вычеркнули единицу ($1$), сумма двух других вычеркнутых цифр ($Y$) должна удовлетворять условию:

4. Цифры на позициях с 1 по 6: $8,9,7,6,7,5\text{.}$ Найдём пары цифр с суммой $Y\equiv 5(\mathrm{mod}9)$ (то есть сумма равна $5$ или $14$):
1. $8$ и $6$ ($8+6=14$);
2. $9$ и $5$ ($9+5=14$);
3. $7$ и $7$ ($7+7=14$).

5. Выберем первую пару: вычеркнем цифры на позициях 1 ($8$) и 4 ($6$), а также на позиции 8 ($1$).

Оставшиеся цифры в исходном порядке: позиция 2 ($9$), позиция 3 ($7$), позиция 5 ($7$), позиция 6 ($5$), позиция 7 ($8$). Получаем число $97758\text{.}$

Проверка: число чётное, сумма его цифр $9+7+7+5+8=36$ делится на $9\text{.}$ Следовательно, $97758$ делится на $18\text{.}$

Ответ: 97758