Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Трёхзначное число, кратное 25, должно оканчиваться на 25, 50 или 75 (вариант с окончанием 00 не подходит, так как по условию все цифры числа различны). Рассмотрим возможные случаи: 1. Окончание 25. Число имеет вид a25 , где a — цифра сотен, причём a in 1; 3; 4; 6; 7; 8; 9 . Сумма квадратов цифр равна: S = a^2 + 2^2 + 5^2 = a^2 + 4 + 25 = a^2 + 29 Чтобы сумма S делилась на 5, остаток от деления a^2 на 5 должен быть равен 1 (так как 29 при делении на 5 даёт остаток 4). Это верно для a in 1; 4; 6; 9 . Проверим каждое значение на условие «не делится на 25»: — если a = 1 , то S = 1 + 29 = 30 (делится на 5, не на 25) — подходит; — если a = 4 , то S = 16 + 29 = 45 (делится на 5, не на 25) — подходит; — если a = 6 , то S = 36 + 29 = 65 (делится на 5, не на 25) — подходит; — если a = 9 , то S = 81 + 29 = 110 (делится на 5, не на 25) — подходит. Подходящие числа: 125, 425, 625, 925. 2. Окончание 50. Число имеет вид a50 , где a != 5 и a != 0 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 5^2 + 0^2 = a^2 + 25 Чтобы S делилось на 5, цифра a^2 должна делиться на 5, что возможно только при a = 5 . Но по условию цифры различны, поэтому в данном случае решений нет. 3. Окончание 75. Число имеет вид a75 , где a in 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 7^2 + 5^2 = a^2 + 49 + 25 = a^2 + 74 Чтобы S делилось на 5, остаток от деления a^2 на 5 должен быть равен 1. Это выполняется для a in 1; 4; 6; 9 . Проверим на делимость на 25: — если a = 1 , то S = 1 + 74 = 75 (делится на 25) — не подходит; — если a = 4 , то S = 16 + 74 = 90 (делится на 5, не на 25) — подходит; — если a = 6 , то S = 36 + 74 = 110 (делится на 5, не на 25) — подходит; — если a = 9 , то S = 81 + 74 = 155 (делится на 5, не на 25) — подходит. Подходящие числа: 475, 675, 975. В ответе достаточно указать любое одно из найденных чисел (125, 425, 625, 925, 475, 675, 975). Ответ: 125

125