Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Число кратно 45, поэтому оно делится на 5 и на 9.
1. Делимость на 5: последняя цифра должна быть 0 или 5.
2. Делимость на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.
3. Условие задачи: сумма цифр на 1 меньше их произведения.
Пусть цифры числа — a,b,c,d, где a — первая цифра (от 1 до 9), b,c,d — от 0 до 9. Тогда:
Условие: S=P−1.
Сначала учтём делимость на 5.
Теперь d=5. Тогда:
S=a+b+c+5 P=5⋅a⋅b⋅cУсловие: a+b+c+5=5⋅a⋅b⋅c−1.
Упростим:
a+b+c+6=5⋅a⋅b⋅c(1)Так как число кратно 9, сумма цифр S делится на 9. То есть a+b+c+5 делится на 9.
Обозначим T=a+b+c. Тогда T+5 делится на 9, поэтому T≡4(mod9).
Поскольку T — сумма трёх цифр, T может быть от 1 до 27. Возможные значения T: 4,13,22.
Подставим T в уравнение (1): T+6=5⋅a⋅b⋅c.
Таким образом, только T=4 подходит.
Итак, a+b+c=4 и a⋅b⋅c=2.
Найдём цифры a,b,c. Поскольку a⩾1, возможные случаи:
1. Если a=1, то b+c=3 и b⋅c=2. Решения: b=1,c=2 или b=2,c=1.
2. Если a=2, то b+c=2 и b⋅c=1. Решение: b=1,c=1.
3. При a⩾3 имеем b+c⩽1, но тогда произведение не может быть 2.
Получаем числа (с d=5):
1. 1125
2. 1215
3. 2115
Проверим для примера число 1125:
Аналогично для 1215 и 2115.
Ответ: 1125
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Алгебра
ФИПИ