Задача №13921 — Числа и их свойства (Математика (база) ЕГЭ)

Найдите трёхзначное число, кратное 30 , все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4 , но не делится на 16 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число кратно 30 , оно должно делиться на 10 и на 3 . Делимость на 10 означает, что последняя цифра числа равна 0 . Значит, число имеет вид AB0 , где A и B — цифры, причём A != 0 (чтобы число было трёхзначным). Делимость на 3 означает, что сумма цифр делится на 3 . Сумма цифр: A + B + 0 = A + B . Следовательно, A + B должно делиться на 3 . Все цифры различны, поэтому A != B , и ни A , ни B не равны 0 . Сумма квадратов цифр: A^2 + B^2 + 0^2 = A^2 + B^2 . По условию эта сумма должна делиться на 4 , но не делится на 16 . Исследуем условие делимости A^2 + B^2 на 4 . Рассмотрим квадраты цифр по модулю 4 : Если цифра чётная, её квадрат делится на 4 ; Если цифра нечётная, её квадрат даёт остаток 1 при делении на 4 . Следовательно, чтобы A^2 + B^2 делилось на 4 , оба числа A и B должны быть чётными. В противном случае (оба нечётные или один чётный, один нечётный) сумма квадратов будет иметь остаток 2 или 1 соответственно и не будет делиться на 4 . Чётные цифры от 1 до 9 : 2; 4; 6; 8 . Пусть A = 2a , B = 2b , где a, b in 1; 2; 3; 4 (поскольку A, B in 2; 4; 6; 8 ). Также A != B , поэтому a != b . Теперь условие на сумму квадратов: A^2 + B^2 = 4(a^2 + b^2) Чтобы эта сумма не делилась на 16 , необходимо, чтобы a^2 + b^2 не делилось на 4 . Условие делимости на 3 : A + B = 2(a + b) должно делиться на 3 . Поскольку 2 и 3 взаимно просты, это означает, что a + b должно делиться на 3 . a и b — различные цифры из множества 1; 2; 3; 4 . Возможные значения a + b , кратные 3 : 3 или 6 (так как максимальная сумма 4 + 3 = 7 ). Переберём пары (a; b) : При a + b = 3 : пары (1; 2) и (2; 1) . При a + b = 6 : пары (2; 4) и (4; 2) . Проверим условие a^2 + b^2 не делится на 4 : Для (1; 2) : 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 , 5 не делится на 4 . Подходит. Для (2; 1) : аналогично, 5 не делится на 4 . Подходит. Для (2; 4) : 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 , 20 делится на 4 . Не подходит. Для (4; 2) : аналогично, 20 делится на 4 . Не подходит. Таким образом, подходят только пары (1; 2) и (2; 1) . Тогда: Для (a; b) = (1; 2) : A = 2 * 1 = 2 , B = 2 * 2 = 4 , число — 240 . Для (a; b) = (2; 1) : A = 4 , B = 2 , число — 420 . Проверим оба числа: 240 : цифры 2 , 4 , 0 — различны; кратно 30 (последняя цифра 0 , сумма цифр 2 + 4 + 0 = 6 делится на 3 ); сумма квадратов цифр 2^2 + 4^2 + 0^2 = 4 + 16 + 0 = 20 делится на 4 , но не делится на 16 . 420 : цифры 4 , 2 , 0 — различны; кратно 30 ; сумма квадратов 4^2 + 2^2 + 0^2 = 16 + 4 + 0 = 20 делится на 4 , но не делится на 16 . Ответ: 240

240