Задача №13921

Найдите трёхзначное число, кратное $30\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число кратно $30\text{,}$ оно должно делиться на $10$ и на $3\text{.}$

1. Делимость на $10$ означает, что последняя цифра числа равна $0\text{.}$ Значит, число имеет вид $AB0\text{,}$ где $A$ и $B$ — цифры, причём $A\ne 0$ (чтобы число было трёхзначным).

2. Делимость на $3$ означает, что сумма цифр делится на $3\text{.}$ Сумма цифр: $A+B+0=A+B\text{.}$ Следовательно, $A+B$ должно делиться на $3\text{.}$

3. Все цифры различны, поэтому $A\ne B\text{,}$ и ни $A\text{,}$ ни $B$ не равны $0\text{.}$

4. Сумма квадратов цифр: $A^2+B^2+0^2=A^2+B^2\text{.}$ По условию эта сумма должна делиться на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$

5. Исследуем условие делимости $A^2+B^2$ на $4\text{.}$ Рассмотрим квадраты цифр по модулю $4\text{:}$

• Если цифра чётная, её квадрат делится на $4\text{;}$
• Если цифра нечётная, её квадрат даёт остаток $1$ при делении на $4\text{.}$

Следовательно, чтобы $A^2+B^2$ делилось на $4\text{,}$ оба числа $A$ и $B$ должны быть чётными. В противном случае (оба нечётные или один чётный, один нечётный) сумма квадратов будет иметь остаток $2$ или $1$ соответственно и не будет делиться на $4\text{.}$

6. Чётные цифры от $1$ до $9\text{:}$ $2;4;6;8\text{.}$ Пусть $A=2a\text{,}$ $B=2b\text{,}$ где $a,b\in \{1;2;3;4\}$ (поскольку $A,B\in \{2;4;6;8\}$). Также $A\ne B\text{,}$ поэтому $a\ne b\text{.}$

7. Теперь условие на сумму квадратов:

Чтобы эта сумма не делилась на $16\text{,}$ необходимо, чтобы $a^2+b^2$ не делилось на $4\text{.}$

8. Условие делимости на $3\text{:}$ $A+B=2(a+b)$ должно делиться на $3\text{.}$ Поскольку $2$ и $3$ взаимно просты, это означает, что $a+b$ должно делиться на $3\text{.}$

9. $a$ и $b$ — различные цифры из множества $\{1;2;3;4\}\text{.}$ Возможные значения $a+b\text{,}$ кратные $3\text{:}$ $3$ или $6$ (так как максимальная сумма $4+3=7$).

10. Переберём пары $(a;b)\text{:}$

• При $a+b=3\text{:}$ пары $(1;2)$ и $(2;1)\text{.}$
• При $a+b=6\text{:}$ пары $(2;4)$ и $(4;2)\text{.}$

11. Проверим условие $a^2+b^2$ не делится на $4\text{:}$

• Для $(1;2)\text{:}$ $1^2+2^2=1+4=5\text{,}$ $5$ не делится на $4\text{.}$ Подходит.
• Для $(2;1)\text{:}$ аналогично, $5$ не делится на $4\text{.}$ Подходит.
• Для $(2;4)\text{:}$ $2^2+4^2=4+16=20\text{,}$ $20$ делится на $4\text{.}$ Не подходит.
• Для $(4;2)\text{:}$ аналогично, $20$ делится на $4\text{.}$ Не подходит.

12. Таким образом, подходят только пары $(1;2)$ и $(2;1)\text{.}$ Тогда:

• Для $(a;b)=(1;2)\text{:}$ $A=2\cdot 1=2\text{,}$ $B=2\cdot 2=4\text{,}$ число — $240\text{.}$
• Для $(a;b)=(2;1)\text{:}$ $A=4\text{,}$ $B=2\text{,}$ число — $420\text{.}$

13. Проверим оба числа:

• $240\text{:}$ цифры $2\text{,}$ $4\text{,}$ $0$ — различны; кратно $30$ (последняя цифра $0\text{,}$ сумма цифр $2+4+0=6$ делится на $3$); сумма квадратов цифр $2^2+4^2+0^2=4+16+0=20$ делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$
• $420\text{:}$ цифры $4\text{,}$ $2\text{,}$ $0$ — различны; кратно $30\text{;}$ сумма квадратов $4^2+2^2+0^2=16+4+0=20$ делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$

Ответ: 240