Задача №13920

Найдите четырёхзначное число, большее $2000\text{,}$ но меньшее $2500\text{,}$ которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $N$ — искомое четырёхзначное число. По условию $2000<N<2500\text{,}$ поэтому первая цифра $N$ равна $2\text{,}$ и $N$ лежит в интервале от $2001$ до $2499\text{.}$

Число $N$ должно делиться на $24\text{.}$ Так как $24=8\cdot 3\text{,}$ то $N$ должно делиться на $8$ и на $3\text{.}$

Сумма цифр $N$ равна $18\text{.}$ По признаку делимости на $3\text{,}$ если сумма цифр делится на $3\text{,}$ то число делится на $3\text{.}$ Число $18$ делится на $3\text{,}$ поэтому условие делимости на $3$ выполнено. Следовательно, достаточно, чтобы $N$ делилось на $8\text{.}$

Найдём кратные $24$ в интервале $(2000;2500)\text{.}$

Наименьшее кратное $24\text{,}$ большее $2000\text{:}$

Наибольшее кратное $24\text{,}$ меньшее $2500\text{:}$

Таким образом, рассматриваем числа: $2016\text{,}$ $2040\text{,}$ $2064\text{,}$ $2088\text{,}$ $2112\text{,}$ $\dots \text{,}$ $2496\text{.}$

Проверим сумму цифр каждого из этих чисел (достаточно найти одно подходящее):

1. $2016\text{:}$ $2+0+1+6=9\ne 18\text{;}$
2. $2040\text{:}$ $2+0+4+0=6\ne 18\text{;}$
3. $2064\text{:}$ $2+0+6+4=12\ne 18\text{;}$
4. $2088\text{:}$ $2+0+8+8=18$ — подходит.

Число $2088$ удовлетворяет всем условиям: оно четырёхзначное, $2000<2088<2500\text{,}$ делится на $24$ (поскольку $\frac{2088}{24}=87$), и сумма его цифр равна $18\text{.}$

Ответ: 2088