Задача №13917

Найдите четырёхзначное число, большее $3000\text{,}$ но меньшее $3500\text{,}$ которое делится на $12$ и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть число имеет цифры $a,b,c,d\text{,}$ где $a$ — тысячи. Поскольку число больше $3000$ и меньше $3500\text{,}$ то $a=3\text{.}$ Число четырёхзначное, поэтому $3000<\overline{3bcd}<3500\text{,}$ где $b,c,d$ — цифры.

Цифры строго возрастают: $a<b<c<d\text{.}$ Так как $a=3\text{,}$ то $b>3\text{.}$ Но если $b⩾5\text{,}$ то число $\overline{35cd}⩾3500\text{,}$ что не удовлетворяет условию. Следовательно, $b=4\text{.}$ Таким образом, число имеет вид $\overline{34cd}\text{,}$ причём $3<4<c<d\text{,}$ то есть $c>4$ и $d>c\text{.}$

Число должно делиться на $12=3\cdot 4\text{,}$ поэтому оно делится одновременно и на $3\text{,}$ и на $4\text{.}$

1. Признак делимости на $4\text{:}$ число делится на $4\text{,}$ если число, составленное из последних двух цифр $\overline{cd}\text{,}$ делится на $4\text{.}$
2. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр $3+4+c+d=7+c+d$ должна делиться на $3\text{.}$

Переберём возможные значения $c$ и $d\text{,}$ учитывая $c>4\text{,}$ $d>c\text{,}$ и $c,d$ — цифры от $0$ до $9\text{.}$

Возможные пары $(c;d)\text{:}$

• $c=5\text{:}$ $d\in \{6;7;8;9\}$
• $c=6\text{:}$ $d\in \{7;8;9\}$
• $c=7\text{:}$ $d\in \{8;9\}$
• $c=8\text{:}$ $d=9$

Проверим делимость $\overline{cd}$ на $4\text{:}$

• Для $c=5,d=6\text{:}$ $56$ делится на $4\text{.}$
• Для $c=5,d=7\text{:}$ $57$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=5,d=8\text{:}$ $58$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=5,d=9\text{:}$ $59$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=6,d=7\text{:}$ $67$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=6,d=8\text{:}$ $68$ делится на $4\text{.}$
• Для $c=6,d=9\text{:}$ $69$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=7,d=8\text{:}$ $78$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=7,d=9\text{:}$ $79$ не делится на $4\text{.}$
• Для $c=8,d=9\text{:}$ $89$ не делится на $4\text{.}$

Итак, по делимости на $4$ подходят пары $(5;6)$ и $(6;8)\text{.}$

Теперь проверим делимость на $3$ для этих пар:

• Для $(5;6)\text{:}$ сумма цифр $3+4+5+6=18\text{,}$ делится на $3\text{.}$
• Для $(6;8)\text{:}$ сумма цифр $3+4+6+8=21\text{,}$ делится на $3\text{.}$

Обе пары удовлетворяют условию делимости на $3\text{.}$

Таким образом, возможные числа: $3456$ и $3468\text{.}$ Оба числа больше $3000$ и меньше $3500\text{,}$ их цифры строго возрастают, и они делятся на $12\text{.}$

В ответе можно указать любое из них, например, $3456\text{.}$

Ответ: $3456$