Задача №13915

Найдите четырёхзначное число, кратное 33, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на 33, то есть одновременно на 3 и на 11. Все цифры различны и нечётны, поэтому они выбираются из множества {1; 3; 5; 7; 9}.

1. Признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3. Сумма всех пяти нечётных цифр:

Поскольку используются только четыре цифры, сумма $S=25-x\text{,}$ где $x$ — пропущенная цифра. Сумма $S$ делится на 3, если $25-x$ кратно 3. Так как $25\equiv 1(\mathrm{mod}3)\text{,}$ то $x\equiv 1(\mathrm{mod}3)\text{.}$ Из набора цифр этому условию удовлетворяют $x=1$ и $x=7\text{.}$

2. Рассмотрим два случая:

• Пропущена цифра 1. Тогда используемые цифры: 3, 5, 7, 9. Сумма $S=3+5+7+9=24\text{,}$ что делится на 3.
• Пропущена цифра 7. Тогда используемые цифры: 1, 3, 5, 9. Сумма $S=1+3+5+9=18\text{,}$ что делится на 3.

3. Признак делимости на 11: для числа с цифрами $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ (тысячи, сотни, десятки, единицы) разность $(a+c)-(b+d)$ должна делиться на 11.

4. Анализ случаев:

• В случае 1 (используются 3, 5, 7, 9): сумма всех цифр $S=24\text{,}$ значит, $(a+c)+(b+d)=24\text{.}$ Чтобы разность $(a+c)-(b+d)$ делилась на 11, учитывая, что сумма двух цифр из набора не превышает 16 ($7+9=16$), единственным вариантом является разность 0. Тогда:

Пары цифр из {3; 5; 7; 9} с суммой 12: (3; 9) и (5; 7). Значит, одна пара должна стоять на нечётных позициях, а другая — на чётных. Например, если $a=3\text{,}$ $c=9\text{,}$ $b=5\text{,}$ $d=7\text{,}$ получаем число 3597. Проверка: $(3+9)-(5+7)=0\text{,}$ делится на 11.

• В случае 2 (используются 1, 3, 5, 9): сумма цифр $S=18\text{,}$ следовательно, $(a+c)+(b+d)=18\text{.}$ Для делимости на 11 разность также должна быть 0, то есть $a+c=9$ и $b+d=9\text{.}$ Однако среди цифр {1; 3; 5; 9} нет пар с суммой 9. В этом случае решений нет.

5. Таким образом, условию удовлетворяют числа, составленные из цифр 3, 5, 7, 9, где суммы цифр на чётных и нечётных местах равны 12 (например: 3597, 3795, 5379, 5973, 7359, 7953, 9537, 9735).

Ответ: 3597