Задача №13913

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $0$ и $3$ и делится на $90\text{.}$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на $90\text{,}$ а значит, и на $10\text{,}$ и на $9\text{.}$

1. Делимость на 10: число должно оканчиваться на $0\text{.}$ Последняя цифра шестизначного числа — $0\text{.}$

2. Делимость на 9: сумма цифр числа должна делиться на $9\text{.}$

Число состоит только из цифр $0$ и $3\text{,}$ первая цифра не может быть $0$ (иначе число не будет шестизначным). Пусть среди первых пяти цифр (последняя уже $0$) $k$ цифр равны $3\text{,}$ остальные $5-k$ равны $0\text{.}$ Тогда сумма цифр $S\text{:}$

Чтобы $S$ делилась на $9\text{,}$ нужно, чтобы $3k$ делилось на $9\text{,}$ то есть $k$ кратно $3\text{.}$ Так как $0⩽k⩽5$ и первая цифра $3$ (то есть $k⩾1$), возможное значение $k=3\text{.}$

Таким образом, среди первых пяти цифр ровно три цифры $3$ и две цифры $0\text{.}$ Пример такого числа: $333000$ (первые три цифры $3\text{,}$ затем две $0$ и последняя $0$).

Проверка:
1. Число оканчивается на $0\text{.}$
2. Сумма цифр: $3+3+3+0+0+0=9\text{,}$ делится на $9\text{.}$

Следовательно, число $333000$ делится на $90\text{.}$ В ответ можно записать любое шестизначное число из цифр $0$ и $3\text{,}$ удовлетворяющее условиям: последняя цифра $0$ и сумма всех цифр равна $9$ (то есть среди первых пяти цифр ровно три тройки).

Ответ: $333000$