Найдите пятизначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 85, но меньше 95. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно 75, следовательно, оно кратно 3 и 25.
2. Признак делимости на 25: число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Поскольку произведение цифр больше 85, в числе нет нулей (иначе произведение равно 0). Поэтому подходят только окончания 25 и 75.
3. Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 25. Тогда последние две цифры — 2 и 5. Обозначим первые три цифры как a, b, c (a=0). Произведение всех цифр: P=a⋅b⋅c⋅2⋅5=10abc. Из условия 85<P<95 имеем:
85<10abc<95⇒8,5<abc<9,5.Так как a,b,c — целые цифры от 1 до 9, то abc — целое число. Значит, abc=9.
4. Найдём все тройки цифр с произведением 9: это (1; 1; 9), (1; 3; 3) и их перестановки. Однако число должно делиться на 3, поэтому сумма его цифр должна делиться на 3. Сумма цифр числа: a+b+c+2+5=a+b+c+7.
Следовательно, подходят только тройки, содержащие цифры 1, 1, 9.
5. Таким образом, искомые числа имеют вид, где первые три цифры — это перестановка цифр 1, 1 и 9, а последние две — 25. Примеры: 11925, 19125, 91125. Проверим для 11925: произведение цифр 1⋅1⋅9⋅2⋅5=90 (85<90<95), и 11925:75=159 — целое число.
6. Теперь случай, когда число оканчивается на 75. Тогда последние цифры 7 и 5. Произведение: P=a⋅b⋅c⋅7⋅5=35abc. Из условия:
85<35abc<95⇒3585<abc<3595⇒717<abc<719.Приближённо 2,4286<abc<2,7143. Нет целого числа abc в этом интервале (целые 2 и 3 не подходят). Значит, этот случай не даёт решений.
7. Итак, условию удовлетворяют пятизначные числа, оканчивающиеся на 25, у которых первые три цифры — перестановка цифр 1, 1, 9. В ответ можно записать любое из них.
Ответ: 11925
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Алгебра
ФИПИ