Найдите пятизначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 85, но меньше 95. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно 75, следовательно, оно кратно 3 и 25. 2. Признак делимости на 25: число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Поскольку произведение цифр больше 85, в числе нет нулей (иначе произведение равно 0). Поэтому подходят только окончания 25 и 75. 3. Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 25. Тогда последние две цифры — 2 и 5. Обозначим первые три цифры как a , b , c ( a != 0 ). Произведение всех цифр: P = a * b * c * 2 * 5 = 10abc . Из условия 85 < P < 95 имеем: 85 < 10abc < 95 => 8,5 < abc < 9,5. Так как a, b, c — целые цифры от 1 до 9, то abc — целое число. Значит, abc = 9 . 4. Найдём все тройки цифр с произведением 9: это (1; 1; 9), (1; 3; 3) и их перестановки. Однако число должно делиться на 3, поэтому сумма его цифр должна делиться на 3. Сумма цифр числа: a + b + c + 2 + 5 = a + b + c + 7 . - Для тройки (1; 1; 9): сумма a + b + c = 11 , тогда общая сумма 11 + 7 = 18 , что делится на 3. - Для тройки (1; 3; 3): сумма a + b + c = 7 , общая сумма 7 + 7 = 14 , не делится на 3. Аналогично для других перестановок (3; 3; 1) и т. д. Следовательно, подходят только тройки, содержащие цифры 1, 1, 9. 5. Таким образом, искомые числа имеют вид, где первые три цифры — это перестановка цифр 1, 1 и 9, а последние две — 25. Примеры: 11925, 19125, 91125. Проверим для 11925: произведение цифр 1 * 1 * 9 * 2 * 5 = 90 ( 85 < 90 < 95 ), и 11925 : 75 = 159 — целое число. 6. Теперь случай, когда число оканчивается на 75. Тогда последние цифры 7 и 5. Произведение: P = a * b * c * 7 * 5 = 35abc . Из условия: 85 < 35abc < 95 => (85)/(35) < abc < (95)/(35) => (17)/(7) < abc < (19)/(7). Приближённо 2,4286 < abc < 2,7143 . Нет целого числа abc в этом интервале (целые 2 и 3 не подходят). Значит, этот случай не даёт решений. 7. Итак, условию удовлетворяют пятизначные числа, оканчивающиеся на 25, у которых первые три цифры — перестановка цифр 1, 1, 9. В ответ можно записать любое из них. Ответ: 11925
11925