Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400 , которое при делении и на 6 , и на 5 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число — N , трёхзначное, N > 400 . 1. По условию, при делении на 5 и на 6 остатки равны и ненулевые. Обозначим остаток r , r != 0 . Тогда: N = 5a + r, N = 6b + r Вычитая, получаем 5a = 6b . Поскольку 5 и 6 взаимно просты, a делится на 6 , b делится на 5 . Пусть a = 6t , b = 5t для некоторого натурального t . Тогда: N = 5 * 6t + r = 30t + r где r in 1; 2; 3; 4 (остаток от деления на 5 ). 2. Так как N трёхзначное и больше 400 : 30t + r 400 => t 14 (так как 30 * 14 = 420) 30t + r 999 => t 33 (так как 30 * 33 = 990) Итак, t in 14; 15; ; 33 . 3. Представим N в виде ABC , где A — сотни, B — десятки, C — единицы. Поскольку 30t оканчивается на 0 , последняя цифра C = r . 4. Условие на цифры: C — среднее арифметическое A и B : C = (A + B)/(2) => A + B = 2C Так как C = r in 1; 2; 3; 4 и A 4 (ибо N > 400 ), переберём возможные C : 1) C = 1 : A + B = 2 , но A 4 — невозможно. 2) C = 2 : A + B = 4 , возможно только A = 4 , B = 0 . 3) C = 3 : A + B = 6 , возможны пары: (A; B) = (4; 2), (5; 1), (6; 0) . 4) C = 4 : A + B = 8 , возможны пары: (4; 4), (5; 3), (6; 2), (7; 1), (8; 0) . 5. Кроме того, N = 30t + C , поэтому N - C = 100A + 10B должно делиться на 30 : 100A + 10B = 10(10A + B) Чтобы это делилось на 30 , число 10A + B должно делиться на 3 . Проверим для найденных пар: - C = 2 , (4; 0) : 10 * 4 + 0 = 40 , не делится на 3 . - C = 3 : - (4; 2) : 10 * 4 + 2 = 42 делится на 3 . - (5; 1) : 10 * 5 + 1 = 51 делится на 3 . - (6; 0) : 10 * 6 + 0 = 60 делится на 3 . - C = 4 : для всех пар выражение 10A + B не делится на 3 . 6. Найдём соответствующие числа: - (A; B; C) = (4; 2; 3) : N = 423 . - (A; B; C) = (5; 1; 3) : N = 513 . - (A; B; C) = (6; 0; 3) : N = 603 . 7. Все три числа удовлетворяют условиям. В ответ можно указать любое из них. Ответ: 423

423