Задача №13910

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $400\text{,}$ которое при делении и на $6\text{,}$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число — $N\text{,}$ трёхзначное, $N>400\text{.}$

1. По условию, при делении на $5$ и на $6$ остатки равны и ненулевые. Обозначим остаток $r\text{,}$ $r\ne 0\text{.}$ Тогда:

Вычитая, получаем $5a=6b\text{.}$ Поскольку $5$ и $6$ взаимно просты, $a$ делится на $6\text{,}$ $b$ делится на $5\text{.}$ Пусть $a=6t\text{,}$ $b=5t$ для некоторого натурального $t\text{.}$ Тогда:

где $r\in \{1;2;3;4\}$ (остаток от деления на $5$).

2. Так как $N$ трёхзначное и больше $400\text{:}$

Итак, $t\in \{14;15;\dots ;33\}\text{.}$

3. Представим $N$ в виде $\overline{ABC}\text{,}$ где $A$ — сотни, $B$ — десятки, $C$ — единицы. Поскольку $30t$ оканчивается на $0\text{,}$ последняя цифра $C=r\text{.}$

4. Условие на цифры: $C$ — среднее арифметическое $A$ и $B\text{:}$

Так как $C=r\in \{1;2;3;4\}$ и $A⩾4$ (ибо $N>400$), переберём возможные $C\text{:}$

1) $C=1\text{:}$ $A+B=2\text{,}$ но $A⩾4$ — невозможно.

2) $C=2\text{:}$ $A+B=4\text{,}$ возможно только $A=4\text{,}$ $B=0\text{.}$

3) $C=3\text{:}$ $A+B=6\text{,}$ возможны пары: $(A;B)=(4;2),(5;1),(6;0)\text{.}$

4) $C=4\text{:}$ $A+B=8\text{,}$ возможны пары: $(4;4),(5;3),(6;2),(7;1),(8;0)\text{.}$

5. Кроме того, $N=30t+C\text{,}$ поэтому $N-C=100A+10B$ должно делиться на $30\text{:}$

Чтобы это делилось на $30\text{,}$ число $10A+B$ должно делиться на $3\text{.}$ Проверим для найденных пар:

• $C=2\text{,}$ $(4;0)\text{:}$ $10\cdot 4+0=40\text{,}$ не делится на $3\text{.}$
• $C=3\text{:}$
  • $(4;2)\text{:}$ $10\cdot 4+2=42$ делится на $3\text{.}$
  • $(5;1)\text{:}$ $10\cdot 5+1=51$ делится на $3\text{.}$
  • $(6;0)\text{:}$ $10\cdot 6+0=60$ делится на $3\text{.}$
• $C=4\text{:}$ для всех пар выражение $10A+B$ не делится на $3\text{.}$

6. Найдём соответствующие числа:

• $(A;B;C)=(4;2;3)\text{:}$ $N=423\text{.}$
• $(A;B;C)=(5;1;3)\text{:}$ $N=513\text{.}$
• $(A;B;C)=(6;0;3)\text{:}$ $N=603\text{.}$

7. Все три числа удовлетворяют условиям. В ответ можно указать любое из них.

Ответ: 423