Найдите четырёхзначное число, которое в 12 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть искомое четырёхзначное число равно N . По условию существует натуральное число k такое, что k^3 = 12N или N = (k^3)/(12). Число N должно быть целым и лежать в промежутке от 1000 до 9999. Из целостности N следует, что k^3 делится на 12. Разложим 12 на простые множители: 12 = 2^2 * 3 . Чтобы k^3 делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы k делилось и на 2, и на 3, то есть k кратно 6. Таким образом, k = 6m , где m — натуральное число. Тогда N = ((6m)^3)/(12) = (216m^3)/(12) = 18m^3. Теперь учтём, что N — четырёхзначное: 1000 18m^3 9999. Разделим на 18: (1000)/(18) m^3 (9999)/(18). Приближённо (1000)/(18) ~ 55,56 , (9999)/(18) ~ 555,5 . Следовательно, m^3 находится между 56 и 555 (поскольку m — натуральное, можно взять целые границы). Кубические корни: [3]56 ~ 3,83 , [3]555 ~ 8,22 . Значит, натуральное m может быть от 4 до 8 включительно. Вычислим N для каждого m : m = 4 : N = 18 * 4^3 = 18 * 64 = 1152 . m = 5 : N = 18 * 5^3 = 18 * 125 = 2250 . m = 6 : N = 18 * 6^3 = 18 * 216 = 3888 . m = 7 : N = 18 * 7^3 = 18 * 343 = 6174 . m = 8 : N = 18 * 8^3 = 18 * 512 = 9216 . Все полученные числа четырёхзначные. В ответ можно записать любое из них, например, 1152. Ответ: 1152
1152