Задача №13909

Найдите четырёхзначное число, которое в 12 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $N\text{.}$ По условию существует натуральное число $k$ такое, что

Число $N$ должно быть целым и лежать в промежутке от 1000 до 9999.

Из целостности $N$ следует, что $k^3$ делится на 12. Разложим 12 на простые множители: $12=2^2\cdot 3\text{.}$

Чтобы $k^3$ делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы $k$ делилось и на 2, и на 3, то есть $k$ кратно 6. Таким образом, $k=6m\text{,}$ где $m$ — натуральное число.

Тогда

Теперь учтём, что $N$ — четырёхзначное:

Разделим на 18:

Приближённо $\frac{1000}{18}\approx 55,56\text{,}$ $\frac{9999}{18}\approx 555,5\text{.}$

Следовательно, $m^3$ находится между 56 и 555 (поскольку $m$ — натуральное, можно взять целые границы). Кубические корни: $\sqrt[3]{56}\approx 3,83\text{,}$ $\sqrt[3]{555}\approx 8,22\text{.}$

Значит, натуральное $m$ может быть от 4 до 8 включительно.

Вычислим $N$ для каждого $m\text{:}$

1. $m=4\text{:}$ $N=18\cdot 4^3=18\cdot 64=1152\text{.}$
2. $m=5\text{:}$ $N=18\cdot 5^3=18\cdot 125=2250\text{.}$
3. $m=6\text{:}$ $N=18\cdot 6^3=18\cdot 216=3888\text{.}$
4. $m=7\text{:}$ $N=18\cdot 7^3=18\cdot 343=6174\text{.}$
5. $m=8\text{:}$ $N=18\cdot 8^3=18\cdot 512=9216\text{.}$

Все полученные числа четырёхзначные. В ответ можно записать любое из них, например, 1152.

Ответ: 1152