Задача №13905

Найдите пятизначное число, кратное $12\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть пятизначное число имеет цифры $a,b,c,d,e\text{,}$ где $a$ — первая цифра, $a\ne 0\text{.}$

По условию любые две соседние цифры отличаются на $2\text{:}$

Число должно делиться на $12\text{,}$ значит, оно должно делиться на $3$ и на $4$ одновременно.

1. Заметим, что разность $2$ — чётное число. Если $a$ чётное, то $b=a\pm 2$ тоже чётное, и по индукции все цифры будут чётными. Аналогично, если $a$ нечётное, то все цифры будут нечётными.

2. Для делимости на $4$ число, образованное последними двумя цифрами $d$ и $e\text{,}$ должно делиться на $4\text{.}$ Число, кратное $4\text{,}$ всегда чётное, следовательно, цифра $e$ должна быть чётной. Из этого следует, что все цифры искомого числа ($a,b,c,d,e$) чётные.

Таким образом, $a,b,c,d,e\in \{0;2;4;6;8\}\text{,}$ причём $a\ne 0\text{.}$

Ищем последовательности чётных цифр с разностью $\pm 2$ между соседними. Рассмотрим, например, случай $a=4\text{.}$ Тогда $b$ может быть равно $6$ или $2\text{.}$

Пусть $b=6\text{.}$ Тогда $c$ может быть равно $8$ или $4\text{.}$

Возьмём $c=4\text{.}$ Тогда $d$ может быть $6$ или $2\text{.}$ Пусть $d=6\text{,}$ тогда $e$ может быть $8$ или $4\text{.}$ Возьмём $e=4\text{.}$

Проверим полученное число $46464\text{:}$

• Условие разности соседних цифр: $|4-6|=2\text{,}$ $|6-4|=2\text{,}$ $|4-6|=2\text{,}$ $|6-4|=2$ — верно.
• Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр $4+6+4+6+4=24\text{.}$ Так как $24$ делится на $3\text{,}$ то и само число делится на $3\text{.}$
• Делимость на $4\text{:}$ последние две цифры образуют число $64\text{.}$ Так как $64=4\cdot 16\text{,}$ оно делится на $4\text{.}$

Следовательно, число $46464$ делится на $12\text{.}$ Можно найти и другие подходящие числа, например $42468$ или $42024\text{,}$ но для ответа достаточно указать одно.

Ответ: 46464