Задача №13903

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?

Пусть $p$ — число подъездов, $f$ — число этажей, $k$ — число квартир на этаже. По условию общее число квартир:

Дано: $f>k\text{,}$ $k>p$ и $p>1\text{.}$ Все числа натуральные.

Разложим 110 на простые множители:

Так как $p<k<f\text{,}$ переберём возможные значения $p\text{:}$

1. Если $p=2\text{,}$ то $f\cdot k=55\text{.}$ Пары натуральных чисел с произведением 55: $(55;1)\text{,}$ $(11;5)\text{,}$ $(5;11)\text{,}$ $(1;55)\text{.}$ Условия $k>2$ и $f>k$ проверяются следующим образом:

• Для пары $(11;5)\text{:}$ $k=5>2$ и $f=11>5$ — подходит.
• Остальные пары не удовлетворяют заданным условиям.

2. Если $p=5\text{,}$ то $f\cdot k=22\text{.}$ Возможные пары: $(22;1)\text{,}$ $(11;2)\text{,}$ $(2;11)\text{,}$ $(1;22)\text{.}$ Условие $k>5$ не выполняется ни в одном из вариантов, так как максимальное значение $k$ в паре, где $f>k\text{,}$ равно 2 (для пары $(11;2)$), что противоречит условию $k>5\text{.}$

3. Если $p=11\text{,}$ то $f\cdot k=10\text{.}$ Здесь $k>11$ невозможно, поскольку произведение $f\cdot k$ должно равняться 10.

Единственное подходящее решение: $p=2\text{,}$ $k=5\text{,}$ $f=11\text{.}$

Таким образом, число этажей в доме равно 11.

Ответ: 11