Задача №13902

Найдите трёхзначное натуральное число, кратное $60\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $5\text{,}$ но не делится на $25\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{AB0}\text{,}$ где $A$ и $B$ — цифры, $A\ne 0\text{,}$ и все цифры $A,B,0$ различны, поэтому $B\ne 0$ и $B\ne A\text{.}$

Поскольку число кратно $60\text{,}$ а $60=20\cdot 3$ и $\text{НОД}(20;3)=1\text{,}$ оно должно делиться на $20$ и на $3\text{.}$

Делимость на $20$ означает, что число оканчивается на $0$ и предпоследняя цифра чётная; следовательно, $B$ — чётная цифра, отличная от $0\text{.}$

Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр $A+B+0=A+B$ должна делиться на $3\text{.}$

Сумма квадратов цифр: $A^2+B^2+0^2=A^2+B^2$ должна делиться на $5\text{,}$ но не делиться на $25\text{.}$

Рассмотрим квадраты цифр по модулю $5\text{.}$ Для цифр $1,4,6,9$ квадраты дают остаток $1\text{;}$ для $2,3,7,8$ — остаток $4\text{;}$ для $0$ и $5$ — остаток $0\text{.}$ Чтобы $A^2+B^2$ делилось на $5\text{,}$ необходимо, чтобы один из квадратов давал остаток $1\text{,}$ а другой — остаток $4$ (поскольку $1+4=5\equiv 0(\mathrm{mod}5)$). Значит, одна из цифр $A$ или $B$ принадлежит множеству $\{1;4;6;9\}\text{,}$ а другая - множеству $\{2;3;7;8\}\text{.}$

Учитывая, что $B$ чётная, из множества $\{2;3;7;8\}$ чётными являются только $2$ и $8\text{.}$ Возьмём $B=2\text{.}$ Тогда $A$ должно быть из $\{1;4;6;9\}$ и $A\ne 2\text{.}$

Проверим условие делимости на $3\text{:}$ $A+2$ должно делиться на $3\text{.}$ При $A=1\text{:}$ $1+2=3$ делится на $3\text{.}$

Проверим сумму квадратов: $1^2+2^2=1+4=5\text{,}$ что делится на $5\text{,}$ но не делится на $25\text{.}$ Таким образом, число $120$ удовлетворяет всем условиям: оно трёхзначное, кратно $60$ (так как $120:60=2$), все цифры $1,2,0$ различны, и сумма квадратов цифр равна $5\text{.}$

Можно выбрать и другие числа, например, $420\text{,}$ $180$ и т. д., но по условию достаточно указать одно.

Ответ: 120