Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 60 , все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5 , но не делится на 25 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид AB0 , где A и B — цифры, A != 0 , и все цифры A, B, 0 различны, поэтому B != 0 и B != A . Поскольку число кратно 60 , а 60 = 20 * 3 и НОД(20; 3) = 1 , оно должно делиться на 20 и на 3 . Делимость на 20 означает, что число оканчивается на 0 и предпоследняя цифра чётная; следовательно, B — чётная цифра, отличная от 0 . Делимость на 3 : сумма цифр A + B + 0 = A + B должна делиться на 3 . Сумма квадратов цифр: A^2 + B^2 + 0^2 = A^2 + B^2 должна делиться на 5 , но не делиться на 25 . Рассмотрим квадраты цифр по модулю 5 . Для цифр 1, 4, 6, 9 квадраты дают остаток 1 ; для 2, 3, 7, 8 — остаток 4 ; для 0 и 5 — остаток 0 . Чтобы A^2 + B^2 делилось на 5 , необходимо, чтобы один из квадратов давал остаток 1 , а другой — остаток 4 (поскольку 1 + 4 = 5 === 0 +-od5 ). Значит, одна из цифр A или B принадлежит множеству 1; 4; 6; 9 , а другая — множеству 2; 3; 7; 8 . Учитывая, что B чётная, из множества 2; 3; 7; 8 чётными являются только 2 и 8 . Возьмём B = 2 . Тогда A должно быть из 1; 4; 6; 9 и A != 2 . Проверим условие делимости на 3 : A + 2 должно делиться на 3 . При A = 1 : 1 + 2 = 3 делится на 3 . Проверим сумму квадратов: 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 , что делится на 5 , но не делится на 25 . Таким образом, число 120 удовлетворяет всем условиям: оно трёхзначное, кратно 60 (так как 120 : 60 = 2 ), все цифры 1, 2, 0 различны, и сумма квадратов цифр равна 5 . Можно выбрать и другие числа, например, 420 , 180 и т. д., но по условию достаточно указать одно. Ответ: 120

120