Найдите четырёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 8; сумма цифр числа A+2 делится на 8; число A больше 1500 и меньше 1700. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть число A имеет вид A = 1bcd , где b, c, d — цифры, и поскольку 1500 < A < 1700 , то b может быть 5 или 6. Сумма цифр S(A) = 1 + b + c + d . Рассмотрим A+2 . При прибавлении 2 возможны переносы. Если d < 8 , то A+2 = 1b c (d+2) , и S(A+2) = S(A) + 2 . Так как S(A) кратно 8, S(A+2) не кратно 8 (даёт остаток 2). Противоречие. Значит, d 8 . Пусть d = 8 . Тогда если c < 9 , то A+2 = 1b (c+1) 0 , и S(A+2) = b + c + 2 , S(A) = b + c + 9 . Условия b+c+9 и b+c+2 кратны 8 дают противоречие (разность 7). Поэтому необходимо c = 9 . При d=8, c=9 : A = 1b98 , A+2 = 1(b+1)00 . Тогда S(A) = b + 18 , S(A+2) = b + 2 . Обе суммы кратны 8 при b+2 кратном 8. Так как b = 5 или 6, подходит b = 6 . Получаем A = 1698 . Пусть d = 9 . Тогда если c < 9 , то A+2 = 1b (c+1) 1 , и S(A+2) = b + c + 3 , S(A) = b + c + 10 . Аналогично, разность 7 даёт противоречие. Поэтому необходимо c = 9 . При d=9, c=9 : A = 1b99 , A+2 = 1(b+1)01 . Тогда S(A) = b + 19 , S(A+2) = b + 3 . Обе суммы кратны 8 при b+3 кратном 8. Для b = 5 или 6 подходит b = 5 . Получаем A = 1599 . Таким образом, существуют два числа: 1599 и 1698. В ответе можно указать любое, например 1698. Ответ: 1698
\(1698\)