Задача №13901

Найдите четырёхзначное число $A\text{,}$ обладающее всеми следующими свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 8;
• сумма цифр числа $A+2$ делится на 8;
• число $A$ больше 1500 и меньше 1700.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть число A имеет вид $A=1bcd\text{,}$ где $b,c,d$ — цифры, и поскольку $1500<A<1700\text{,}$ то $b$ может быть 5 или 6. Сумма цифр $S(A)=1+b+c+d\text{.}$

Рассмотрим $A+2\text{.}$ При прибавлении 2 возможны переносы.

1. Если $d<8\text{,}$ то $A+2=1bc(d+2)\text{,}$ и $S(A+2)=S(A)+2\text{.}$ Так как $S(A)$ кратно 8, $S(A+2)$ не кратно 8 (даёт остаток 2). Противоречие. Значит, $d⩾8\text{.}$

2. Пусть $d=8\text{.}$ Тогда если $c<9\text{,}$ то $A+2=1b(c+1)0\text{,}$ и $S(A+2)=b+c+2\text{,}$ $S(A)=b+c+9\text{.}$ Условия $b+c+9$ и $b+c+2$ кратны 8 дают противоречие (разность 7). Поэтому необходимо $c=9\text{.}$
При $d=8,c=9\text{:}$ $A=1b98\text{,}$ $A+2=1(b+1)00\text{.}$ Тогда $S(A)=b+18\text{,}$ $S(A+2)=b+2\text{.}$ Обе суммы кратны 8 при $b+2$ кратном 8. Так как $b=5$ или 6, подходит $b=6\text{.}$ Получаем $A=1698\text{.}$

3. Пусть $d=9\text{.}$ Тогда если $c<9\text{,}$ то $A+2=1b(c+1)1\text{,}$ и $S(A+2)=b+c+3\text{,}$ $S(A)=b+c+10\text{.}$ Аналогично, разность 7 даёт противоречие. Поэтому необходимо $c=9\text{.}$
При $d=9,c=9\text{:}$ $A=1b99\text{,}$ $A+2=1(b+1)01\text{.}$ Тогда $S(A)=b+19\text{,}$ $S(A+2)=b+3\text{.}$ Обе суммы кратны 8 при $b+3$ кратном 8. Для $b=5$ или 6 подходит $b=5\text{.}$ Получаем $A=1599\text{.}$

Таким образом, существуют два числа: 1599 и 1698. В ответе можно указать любое, например 1698.

Ответ: 1698