Задача №13895

Вычеркните в числе 89767581 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 9.

1. Признак делимости на 2: число должно быть чётным, то есть заканчиваться на чётную цифру (0, 2, 4, 6 или 8).

В исходном числе 89767581 последняя цифра — 1. Чтобы получившееся число было чётным, цифру 1 необходимо вычеркнуть. Теперь число оканчивается на 8, что удовлетворяет условию чётности.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

Найдём сумму цифр исходного числа:
$8+9+7+6+7+5+8+1=51\text{.}$

Поскольку мы уже решили вычеркнуть 1, сумма оставшихся цифр (8, 9, 7, 6, 7, 5, 8) равна:
$51-1=50\text{.}$

3. Выбор оставшихся цифр: нам нужно вычеркнуть ещё две цифры так, чтобы новая сумма делилась на 9. Ближайшие к 50 числа, делящиеся на 9, — это 45, 36 и 27.

• Чтобы сумма стала равной 45, нужно вычеркнуть цифры с суммой $50-45=5\text{.}$ Среди оставшихся цифр $\{8;9;7;6;7;5\}$ нет пары, сумма которой равна 5 (так как минимальная сумма двух цифр из набора — $5+6=11\text{,}$ за исключением случая вычеркивания самой цифры 5, но тогда останется только одна цифра).

• Чтобы сумма стала равной 36, нужно вычеркнуть цифры с суммой $50-36=14\text{.}$ Найдём подходящие пары среди оставшихся цифр $\{8;9;7;6;7;5\}\text{:}$

1) $9+5=14\text{.}$ Если вычеркнуть 9 и 5 (и ранее 1), останутся цифры 8, 7, 6, 7, 8. Число: 87678.

2) $7+7=14\text{.}$ Если вычеркнуть две семерки (и ранее 1), останутся цифры 8, 9, 6, 5, 8. Число: 89658.

3) $8+6=14\text{.}$ Если вычеркнуть первую восьмёрку и шестёрку (и ранее 1), останутся цифры 9, 7, 7, 5, 8. Число: 97758.

4. Проверка:

Для числа 87678:

• Чётное (оканчивается на 8) — верно.
• Сумма цифр: $8+7+6+7+8=36\text{.}$ $36:9=4$ — верно.

Значит, число 87678 делится на 18.

В ответе можно указать любое из полученных чисел: 87678, 89658 или 97758.

Ответ: 87678