Задача №13893

Найдите четырёхзначное число, кратное $22\text{,}$ произведение цифр которого равно $60\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ По условию оно должно удовлетворять следующим требованиям:

1. Число кратно $22\text{,}$ то есть оно одновременно кратно $2$ (чётное) и $11$ (разность сумм цифр на нечётных и чётных позициях кратна $11$).
2. Произведение цифр равно $60\text{:}$

Разложим число $60$ на множители, которые могут быть цифрами:

1. $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\text{;}$
2. $60=1\cdot 4\cdot 3\cdot 5\text{;}$
3. $60=1\cdot 2\cdot 6\cdot 5\text{.}$

Проверим набор цифр $\{1;2;5;6\}\text{.}$ Сумма этих цифр равна $1+2+5+6=14\text{.}$ Согласно признаку делимости на $11\text{,}$ разность $(a+c)-(b+d)$ должна быть кратна $11\text{.}$ В данном случае возможен только вариант, когда разность равна $0\text{,}$ то есть $a+c=b+d\text{.}$ Так как общая сумма цифр равна $14\text{,}$ то $a+c=7$ и $b+d=7\text{.}$

Из набора $\{1;2;5;6\}$ можно составить две пары с суммой $7\text{:}$ $(1;6)$ и $(2;5)\text{.}$

Поскольку число должно быть чётным, последняя цифра $d$ должна быть чётной ($2$ или $6$).

Если $d=2\text{,}$ тогда из пары $(2;5)$ следует, что $b=5\text{.}$ Оставшиеся цифры $1$ и $6$ распределяем на позиции $a$ и $c\text{.}$ Получаем число $1562\text{.}$

Проверка:

• Произведение цифр: $1\cdot 5\cdot 6\cdot 2=60\text{;}$
• Кратность $22\text{:}$ число чётное; $(1+6)-(5+2)=0\text{,}$ значит, делится на $11\text{.}$ $1562:22=71\text{.}$

Также подходят числа $6512\text{,}$ $2156\text{,}$ $5126\text{.}$

Ответ: 1562.