Задача №13892

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 4626. В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{.}$

По условию число кратно 5, следовательно, его последняя цифра $d$ равна 0 или 5. Так как при записи цифр в обратном порядке также получается четырёхзначное число, то $d\ne 0\text{,}$ значит, $d=5\text{.}$

Запишем разность исходного и обратного чисел:

Упростим выражение:

Разделим уравнение на 9:

Поскольку произведение $10(b-c)$ оканчивается на 0, то последняя цифра числа $111a$ должна совпадать с последней цифрой числа 1069, то есть быть равной 9. Это возможно только при $a=9\text{.}$

Подставим $a=9$ в уравнение:

Так как $b$ и $c$ — цифры, найдём возможные пары:

1. Если $c=0\text{,}$ то $b=7\text{.}$ Исходное число — 9705.
2. Если $c=1\text{,}$ то $b=8\text{.}$ Исходное число — 9815.
3. Если $c=2\text{,}$ то $b=9\text{.}$ Исходное число — 9925.

Проверим число 9705: оно кратно 5; число, записанное в обратном порядке (5079), является четырёхзначным; разность $9705-5079=4626\text{.}$ Все условия задачи выполнены.

Ответ: 9705