Задача №13888

В корзине лежит $25$ грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых $11$ грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых $16$ грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Пусть $R$ — количество рыжиков в корзине, а $G$ — количество груздей. По условию задачи всего в корзине $R+G=25$ грибов.

1. Рассмотрим первое условие: «среди любых $11$ грибов имеется хотя бы один рыжик». Это означает, что в корзине не может быть $11$ или более груздей, так как если бы их было $11\text{,}$ мы могли бы выбрать их все, и среди них не оказалось бы ни одного рыжика. Следовательно, количество груздей не превосходит $10\text{:}$

2. Рассмотрим второе условие: «среди любых $16$ грибов имеется хотя бы один груздь». Аналогично, это означает, что в корзине не может быть $16$ или более рыжиков, иначе мы могли бы выбрать $16$ рыжиков, среди которых не было бы ни одного груздя. Следовательно, количество рыжиков не превосходит $15\text{:}$

3. Используем общее количество грибов. Так как $G=25-R\text{,}$ подставим это в первое неравенство:

4. У нас получилось два ограничения для количества рыжиков: $R⩽15$ и $R⩾15\text{.}$ Единственное целое число, которое удовлетворяет обоим условиям — это $15\text{.}$

Проверим: если в корзине $15$ рыжиков и $10$ груздей, то среди любых $11$ грибов обязательно будет хотя бы один рыжик (так как груздей всего $10$), а среди любых $16$ грибов — хотя бы один груздь (так как рыжиков всего $15$). Условия выполняются.

Ответ: 15