Задача №13887

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры и $a\ne 0\text{.}$

1. Условие делимости на 11.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. Для трёхзначного числа это означает, что $(a+c)-b$ должно быть кратно 11. Поскольку $a,b,c$ — цифры, возможны два случая:

• $a+c-b=0\Rightarrow a+c=b\text{;}$
• $a+c-b=11\Rightarrow a+c=b+11\text{.}$

2. Условие на сумму квадратов цифр.
Сумма квадратов $S=a^2+b^2+c^2$ должна делиться на 3, но не делится на 9.

3. Подбор числа.
Рассмотрим случай $a+c=b\text{.}$ Будем перебирать различные цифры $a$ и $c\text{,}$ чтобы получить $b\text{,}$ и проверять сумму квадратов.

• Пусть $a=1,c=2\text{.}$ Тогда $b=1+2=3\text{.}$ Число 132.
  $S=1^2+3^2+2^2=1+9+4=14\text{.}$ Не делится на 3.

• Пусть $a=1,c=4\text{.}$ Тогда $b=1+4=5\text{.}$ Число 154.
  Цифры различны (1, 5, 4). Проверим сумму квадратов:

Число 42 делится на 3 ($4+2=6$), но не делится на 9.
Число 154 кратно 11 ($154=11\cdot 14$).

Все условия задачи выполнены.

Другими примерами таких чисел являются: 187, 275, 451, 517, 572, 715, 748, 781, 847.

Ответ: 154