Задача №13882

Вычеркните в числе $75157613$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $12\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на $3$ и на $4\text{.}$

1. Признак делимости на $4\text{:}$ последние две цифры числа должны образовывать число, которое делится на $4\text{.}$ В исходном числе $75157613$ только одна чётная цифра — $6\text{.}$ Чтобы итоговое число было чётным (необходимое условие делимости на $4$), оно должно оканчиваться на $6\text{.}$ Это означает, что цифры $1$ и $3\text{,}$ стоящие в конце числа после $6\text{,}$ необходимо вычеркнуть.

2. После вычёркивания $1$ и $3$ получаем последовательность $751576\text{.}$ Нам нужно вычеркнуть ещё одну цифру, чтобы в итоге было вычеркнуто ровно три цифры и осталось пятизначное число.

3. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$ Найдём сумму цифр последовательности $751576\text{:}$

4. Нам нужно вычеркнуть одну цифру из этого набора так, чтобы новая сумма делилась на $3\text{.}$ Возможные варианты:

• Вычеркнуть цифру $1\text{:}$ сумма станет $31-1=30$ (делится на $3$). Получившееся число: $75576\text{.}$ Проверим делимость на $4\text{:}$ число оканчивается на $76\text{,}$ $\frac{76}{4}=19\text{.}$ Подходит.

• Вычеркнуть цифру $7\text{:}$ сумма станет $31-7=24$ (делится на $3$). Если вычеркнуть первую семёрку, получим $51576\text{.}$ Проверка на $4\text{:}$ оканчивается на $76\text{.}$ Подходит. Если вычеркнуть пятую цифру (тоже $7$), получим $75156\text{.}$ Проверка на $4\text{:}$ оканчивается на $56\text{,}$ $\frac{56}{4}=14\text{.}$ Подходит.

Таким образом, можно указать любое из чисел: $75156\text{,}$ $51576$ или $75576\text{.}$

Ответ: 75156