Задача №13879

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 165. Какое число было загадано?

Пусть загаданное число $x\text{.}$ Тогда уравнение:

Отсюда

Так как $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ — натуральные числа, и каждое из них больше 4, но меньше 8, то $A,B,C\in \{5,6,7\}\text{.}$

Тогда $C-B$ изменяется от $-2$ до $2\text{.}$

Переберем возможные значения $A\text{:}$

1. Для $A=5\text{:}$ выражение $165+C-B$ должно делиться на 5. Это возможно только если $C=B\text{,}$ так как тогда $165+C-B=165$ оканчивается на 5 и кратно 5. При $C=B$ получаем

2. Для $A=6\text{:}$ в диапазоне $165+C-B$ от $163$ до $167$ нет чисел, кратных 6.

3. Для $A=7\text{:}$ в диапазоне $163$ до $167$ нет чисел, кратных 7.

Следовательно, единственное решение: $x=33\text{.}$

Ответ: $33$