Задача №13877

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее двумя свойствами:

1. Сумма цифр числа $A$ делится на 11.
2. Сумма цифр числа $A+7$ делится на 11.

В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $A=\overline{abc}$ — искомое трёхзначное число, где $a,b,c$ — его цифры ($a\ne 0$). Сумма цифр числа $A$ равна $S(A)=a+b+c\text{.}$ По условию $S(A)$ делится на 11. Так как для трёхзначного числа максимальная сумма цифр составляет $9+9+9=27\text{,}$ возможные значения $S(A)$ — это 11 или 22.

Рассмотрим изменение суммы цифр при прибавлении числа 7.

1. Если при сложении $A+7$ не происходит перехода через разряд (то есть $c+7<10$), то $S(A+7)=S(A)+7\text{.}$ В этом случае, если $S(A)$ делится на 11, то $S(A+7)$ при делении на 11 даст остаток 7. Условие не выполняется.

2. Если происходит переход через разряд в единицах ($c⩾3$), но не в десятках ($b<9$), то:

$$S(A+7)=a+(b+1)+(c+7-10)=a+b+c-2=S(A)-2$$

Здесь $S(A+7)$ при делении на 11 даст остаток 9. Условие не выполняется.

3. Если происходит переход через разряд и в единицах, и в десятках ($c⩾3$ и $b=9$), а в сотнях перехода нет ($a<9$), то:

$$A+7=(a+1)\cdot 100+0\cdot 10+(c-3)$$ $$S(A+7)=(a+1)+0+(c-3)=a+c-2$$

Заметим, что так как $b=9\text{,}$ то $S(A)=a+9+c=(a+c-2)+11\text{.}$ Это означает, что разность $S(A)-S(A+7)=11\text{.}$ Следовательно, если $S(A)$ делится на 11, то и $S(A+7)$ будет делиться на 11.

Подберём подходящее число. Нам нужно, чтобы $b=9\text{,}$ $a<9\text{,}$ $c⩾3$ и $S(A)=22$ (так как при $S(A)=11$ и $b=9$ сумма $a+c$ была бы равна 2, что невозможно при $c⩾3$).

Пусть $a+9+c=22\text{,}$ тогда $a+c=13\text{.}$
Возьмём $a=4\text{,}$ тогда $c=9\text{.}$ Получаем число 499.

Проверка:
1. $S(499)=4+9+9=22$ (делится на 11).
2. $499+7=506\text{,}$ $S(506)=5+0+6=11$ (делится на 11).

Ответ: 499