Найдите трёхзначное число A, обладающее двумя свойствами: 1. Сумма цифр числа A делится на 11. 2. Сумма цифр числа A + 7 делится на 11. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть A = abc — искомое трёхзначное число, где a, b, c — его цифры ( a != 0 ). Сумма цифр числа A равна S(A) = a + b + c . По условию S(A) делится на 11. Так как для трёхзначного числа максимальная сумма цифр составляет 9 + 9 + 9 = 27 , возможные значения S(A) — это 11 или 22. Рассмотрим изменение суммы цифр при прибавлении числа 7. 1. Если при сложении A + 7 не происходит перехода через разряд (то есть c + 7 < 10 ), то S(A + 7) = S(A) + 7 . В этом случае, если S(A) делится на 11, то S(A+7) при делении на 11 даст остаток 7. Условие не выполняется. 2. Если происходит переход через разряд в единицах ( c 3 ), но не в десятках ( b < 9 ), то: S(A + 7) = a + (b + 1) + (c + 7 - 10) = a + b + c - 2 = S(A) - 2 Здесь S(A+7) при делении на 11 даст остаток 9. Условие не выполняется. 3. Если происходит переход через разряд и в единицах, и в десятках ( c 3 и b = 9 ), а в сотнях перехода нет ( a < 9 ), то: A + 7 = (a + 1) * 100 + 0 * 10 + (c - 3) S(A + 7) = (a + 1) + 0 + (c - 3) = a + c - 2 Заметим, что так как b = 9 , то S(A) = a + 9 + c = (a + c - 2) + 11 . Это означает, что разность S(A) - S(A+7) = 11 . Следовательно, если S(A) делится на 11, то и S(A+7) будет делиться на 11. Подберём подходящее число. Нам нужно, чтобы b = 9 , a < 9 , c 3 и S(A) = 22 (так как при S(A) = 11 и b = 9 сумма a+c была бы равна 2, что невозможно при c 3 ). Пусть a + 9 + c = 22 , тогда a + c = 13 . Возьмём a = 4 , тогда c = 9 . Получаем число 499. Проверка: 1. S(499) = 4 + 9 + 9 = 22 (делится на 11). 2. 499 + 7 = 506 , S(506) = 5 + 0 + 6 = 11 (делится на 11). Ответ: 499

499