Задача №13876

Найдите четырёхзначное число, большее $4000\text{,}$ но меньшее $6000\text{,}$ которое делится на $20$ и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$

1. По условию число делится на $20\text{.}$ Это означает, что оно делится на $10$ и на $2\text{.}$ Следовательно, последняя цифра $d=0\text{.}$ Также число должно делиться на $4\text{,}$ то есть число, образованное последними двумя цифрами ($\overline{c0}$), должно делиться на $4\text{.}$ Это возможно, если $c$ принимает значения $0;2;4;6$ или $8\text{.}$

2. Каждая следующая цифра меньше предыдущей: $a>b>c>d\text{.}$ Так как $d=0\text{,}$ то $c>0\text{.}$ Из возможных значений для $c$ ($0;2;4;6;8$) остаются $c\in \{2;4;6;8\}\text{.}$

3. Число находится в диапазоне от $4000$ до $6000\text{,}$ значит, первая цифра $a$ может быть равна $4$ или $5\text{.}$

4. Рассмотрим случаи:

• Если $a=4\text{:}$
  Условие $4>b>c>0\text{.}$ Так как $c$ — чётное и меньше $b\text{,}$ а $b<4\text{,}$ то единственное возможное значение для $c$ — это $2\text{.}$ Тогда $4>b>2\text{,}$ откуда $b=3\text{.}$ Получаем число $4320\text{.}$
  Проверка: $\frac{4320}{20}=216\text{,}$ $4>3>2>0$ — верно.

• Если $a=5\text{:}$
  Условие $5>b>c>0\text{.}$ Если $c=2\text{,}$ то $5>b>2\text{,}$ значит $b$ может быть $3$ или $4\text{.}$ Получаем числа $5320$ и $5420\text{.}$
  Если $c=4\text{,}$ то $5>b>4\text{,}$ целых решений для $b$ нет.

5. Таким образом, условию удовлетворяют числа $4320;5320;5420\text{.}$ В ответе необходимо указать одно из них.

Ответ: 4320.