Задача №13875

Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Число кратно 75, следовательно, оно одновременно кратно 25 и 3, так как $75=25\cdot 3\text{.}$

2. Признак делимости на 25: две последние цифры числа должны образовывать число, которое делится на 25. Возможные варианты: 00, 25, 50, 75.

3. По условию все цифры числа должны быть нечётными. Рассмотрим варианты окончаний:

• 00: цифра 0 чётная;
• 25: цифра 2 чётная;
• 50: цифра 0 чётная;
• 75: обе цифры (7 и 5) нечётные.

Следовательно, искомое число оканчивается на 75.

4. Пусть искомое число имеет вид $AB75\text{.}$ По условию все цифры должны быть нечётными и различными. Из нечётных цифр $\{1;3;5;7;9\}$ уже использованы 5 и 7. Остались цифры: 1, 3, 9.

5. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр равна:

Чтобы эта сумма делилась на 3, сумма $A+B$ должна быть кратна 3.

6. Подберём подходящие цифры из набора $\{1;3;9\}\text{:}$

• Если $A=3\text{,}$ $B=9\text{,}$ то $A+B=12$ (делится на 3).
• Если $A=9\text{,}$ $B=3\text{,}$ то $A+B=12$ (делится на 3).

Другие пары (например, 1 и 3 или 1 и 9) не дают в сумме число, кратное 3.

7. Таким образом, условиям задачи удовлетворяют числа 3975 и 9375.

Проверка для 3975:

• Все цифры (3, 9, 7, 5) нечётны — верно.
• Все цифры различны — верно.
• Число кратно 75: $3975:75=53$ — верно.

Ответ: 3975