Задача №13872

Найдите четырёхзначное число, которое в 11 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $N$ — искомое четырёхзначное число. По условию оно в 11 раз меньше куба некоторого натурального числа $k\text{:}$

Так как $N$ — целое число, то $k^3$ должно делиться на 11. Поскольку 11 — простое число, если $k^3$ делится на 11, то и само число $k$ должно делиться на 11.

Следовательно, $k=11m\text{,}$ где $m$ — некоторое натуральное число. Подставим это выражение в формулу для $N\text{:}$

По условию $N$ является четырёхзначным числом, следовательно:

Разделим все части неравенства на 121:

Найдём натуральные числа $m\text{,}$ кубы которых попадают в этот промежуток:

1. При $m=1\text{:}$ $m^3=1$ (не подходит).
2. При $m=2\text{:}$ $m^3=8$ (не подходит).
3. При $m=3\text{:}$ $m^3=27\text{.}$ Тогда $N=121\cdot 27=3267\text{.}$
4. При $m=4\text{:}$ $m^3=64\text{.}$ Тогда $N=121\cdot 64=7744\text{.}$
5. При $m=5\text{:}$ $m^3=125$ (не подходит, число станет пятизначным).

Таким образом, условию удовлетворяют числа 3267 и 7744.

Ответ: 3267