Задача №13870

Вычеркните в числе $30239545$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Чтобы число делилось на 22, оно должно одновременно делиться на 2 и на 11.

1. Делимость на 2. Число должно быть чётным, то есть заканчиваться на чётную цифру. В числе $30239545$ чётные цифры — это 0 (вторая), 2 (третья) и 4 (седьмая).

— Если число будет оканчиваться на 0, нужно вычеркнуть все 6 цифр после неё, что невозможно (по условию вычёркиваем 3 цифры).

— Если число будет оканчиваться на 2, нужно вычеркнуть 5 цифр после неё, что также невозможно.

— Значит, число должно оканчиваться на 4. Для этого вычёркиваем последнюю цифру 5. Теперь у нас есть последовательность 3023954, из которой нужно вычеркнуть ещё 2 цифры.

2. Делимость на 11. Число делится на 11, если разность суммы его цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11 (равна 0, 11, $-11$ и т. д.).

3. Пусть искомое пятизначное число имеет вид $d_1{d}_2{d}_3{d}_{4}4\text{.}$ Условие делимости на 11:

Рассмотрим исходную последовательность цифр: 3, 0, 2, 3, 9, 5, 4. Попробуем вычеркнуть цифры 3 (четвёртую) и 5 (шестую).

Остаются цифры: 3, 0, 2, 9, 4.

Проверим число $30294\text{:}$
— Число чётное (оканчивается на 4).
— Знакочередующаяся сумма:

Так как 0 делится на 11, число $30294$ делится на 11.

Проверка: $30294:22=1377\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 30294