Найдите четырёхзначное число A , обладающее тремя свойствами: - сумма цифр числа A делится на 8 ; - сумма цифр числа A + 2 делится на 8 ; - число A больше 1500 и меньше 1700 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число A .

Пусть A — искомое четырёхзначное число. По условию оно находится в диапазоне 1500 < A < 1700 , значит, число A начинается на 15 или 16 . Пусть S(A) — сумма цифр числа A . Если при прибавлении 2 к числу A не происходит перехода через разряд (переноса), то S(A + 2) = S(A) + 2 . В этом случае, если S(A) делится на 8 , то S(A) + 2 не может делиться на 8 . Следовательно, при сложении ( A + 2 обязательно должен произойти перенос хотя бы в одном разряде. Рассмотрим случаи переноса: 1. Если перенос происходит только из разряда единиц в разряд десятков, то число A должно оканчиваться на 8 или 9 . - Если A = 8 , то A + 2 = 0 (в разряде десятков цифра увеличивается на 1 ). Тогда S(A + 2) = S(A) - 8 + 1 = S(A) - 7 . Если S(A) кратно 8 , то S(A) - 7 не кратно 8 . - Если A = 9 , то A + 2 = 1 (в разряде десятков цифра увеличивается на 1 ). Тогда S(A + 2) = S(A) - 9 + 1 + 1 = S(A) - 7 . Опять разность сумм цифр равна 7 , что не делится на 8 . 2. Чтобы разность сумм цифр была кратна 8 , перенос должен затронуть разряд сотен. Это возможно, если число A оканчивается на 98 или 99 . - Если A = ab98 , то A + 2 = a(b+1)00 . Тогда S(A) = a + b + 9 + 8 = a + b + 17 , а S(A + 2) = a + b + 1 . Разность S(A) - S(A + 2) = 16 . Так как 16 делится на 8 , то если одна сумма делится на 8 , вторая тоже будет ей кратна. - Если A = ab99 , то A + 2 = a(b+1)01 . Тогда S(A) = a + b + 9 + 9 = a + b + 18 , а S(A + 2) = a + b + 1 + 1 = a + b + 2 . Разность S(A) - S(A + 2) = 16 . Условие также выполняется. Проверим числа в диапазоне от 1500 до 1700 (где a = 1 , а b равно 5 или 6 ): - При a = 1, b = 5 : A = 1598 => S(A) = 1 + 5 + 9 + 8 = 23 (не делится на 8 ). A = 1599 => S(A) = 1 + 5 + 9 + 9 = 24 (делится на 8 ). Проверим A + 2 = 1601 : S(1601) = 1 + 6 + 0 + 1 = 8 (делится на 8 ). Число 1599 подходит. - При a = 1, b = 6 : A = 1698 => S(A) = 1 + 6 + 9 + 8 = 24 (делится на 8 ). Проверим A + 2 = 1700 : S(1700) = 1 + 7 + 0 + 0 = 8 (делится на 8 ). Число 1698 подходит. Ответ: 1599 (или 1698)

1599