Задача №13867

Найдите четырёхзначное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на $8\text{;}$
• сумма цифр числа $A+2$ делится на $8\text{;}$
• число $A$ больше $1500$ и меньше $1700\text{.}$

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число $A\text{.}$

Пусть $A$ — искомое четырёхзначное число. По условию оно находится в диапазоне $1500<A<1700\text{,}$ значит, число $A$ начинается на $15$ или $16\text{.}$

Пусть $S(A)$ — сумма цифр числа $A\text{.}$ Если при прибавлении $2$ к числу $A$ не происходит перехода через разряд (переноса), то $S(A+2)=S(A)+2\text{.}$ В этом случае, если $S(A)$ делится на $8\text{,}$ то $S(A)+2$ не может делиться на $8\text{.}$ Следовательно, при сложении $A+2$ обязательно должен произойти перенос хотя бы в одном разряде.

Рассмотрим случаи переноса:

1. Если перенос происходит только из разряда единиц в разряд десятков, то число $A$ должно оканчиваться на $8$ или $9\text{.}$

• Если $A=\dots 8\text{,}$ то $A+2=\dots 0$ (в разряде десятков цифра увеличивается на $1$). Тогда $S(A+2)=S(A)-8+1=S(A)-7\text{.}$ Если $S(A)$ кратно $8\text{,}$ то $S(A)-7$ не кратно $8\text{.}$
• Если $A=\dots 9\text{,}$ то $A+2=\dots 1$ (в разряде десятков цифра увеличивается на $1$). Тогда $S(A+2)=S(A)-9+1+1=S(A)-7\text{.}$ Опять разность сумм цифр равна $7\text{,}$ что не делится на $8\text{.}$

2. Чтобы разность сумм цифр была кратна $8\text{,}$ перенос должен затронуть разряд сотен. Это возможно, если число $A$ оканчивается на $98$ или $99\text{.}$

• Если $A=\overline{ab98}\text{,}$ то $A+2=\overline{a(b+1)00}\text{.}$ Тогда $S(A)=a+b+9+8=a+b+17\text{,}$ а $S(A+2)=a+b+1\text{.}$ Разность $S(A)-S(A+2)=16\text{.}$ Так как $16$ делится на $8\text{,}$ то если одна сумма делится на $8\text{,}$ вторая тоже будет ей кратна.
• Если $A=\overline{ab99}\text{,}$ то $A+2=\overline{a(b+1)01}\text{.}$ Тогда $S(A)=a+b+9+9=a+b+18\text{,}$ а $S(A+2)=a+b+1+1=a+b+2\text{.}$ Разность $S(A)-S(A+2)=16\text{.}$ Условие также выполняется.

Проверим числа в диапазоне от $1500$ до $1700$ (где $a=1\text{,}$ а $b$ равно $5$ или $6$):

• При $a=1,b=5\text{:}$
  $A=1598\Rightarrow S(A)=1+5+9+8=23$ (не делится на $8$).
  $A=1599\Rightarrow S(A)=1+5+9+9=24$ (делится на $8$).
  Проверим $A+2=1601\text{:}$ $S(1601)=1+6+0+1=8$ (делится на $8$). Число $1599$ подходит.

• При $a=1,b=6\text{:}$
  $A=1698\Rightarrow S(A)=1+6+9+8=24$ (делится на $8$).
  Проверим $A+2=1700\text{:}$ $S(1700)=1+7+0+0=8$ (делится на $8$). Число $1698$ подходит.

Ответ: 1599 (или 1698)