Задача №13866

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $1$ и $5$ и делится на $55\text{.}$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Число делится на $55$ тогда и только тогда, когда оно делится на $5$ и на $11$ одновременно.

1. Признак делимости на $5\text{:}$ число должно оканчиваться на $0$ или $5\text{.}$ Так как в записи используются только цифры $1$ и $5\text{,}$ последняя цифра искомого числа — $5\text{.}$

2. Признак делимости на $11\text{:}$ знакочередующаяся сумма цифр числа должна делиться на $11\text{.}$ Пусть число имеет вид $\overline{abcdef}\text{.}$ Тогда значение выражения $f-e+d-c+b-a$ должно быть кратно $11\text{.}$

Рассмотрим число $555555\text{:}$ оно состоит только из цифр $5$ и оканчивается на $5$ (следовательно, делится на $5$).

Проверим знакочередующуюся сумму цифр:

Поскольку $0$ делится на $11\text{,}$ число $555555$ делится на $11\text{.}$

Следовательно, число $555555$ делится на $55\text{.}$

Ответ: $555555$