Задача №13863

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $650\text{,}$ но меньшее $800\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число равно $n=100a+10b+c\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры. По условию:

1. Число трёхзначное и $650<n<800\text{,}$ поэтому первая цифра $a$ может быть равна $6$ или $7\text{.}$
2. Все цифры различны и не равны $0\text{.}$
3. Число делится на каждую из своих цифр: $n$ кратно $a\text{,}$ $n$ кратно $b$ и $n$ кратно $c\text{.}$

Рассмотрим случай, когда $a=6\text{.}$

Число должно делиться на $6\text{,}$ следовательно, оно должно быть чётным ($c$ — чётное) и сумма его цифр $6+b+c$ должна делиться на $3\text{.}$ Так как число больше $650\text{,}$ вторая цифра $b$ должна быть не меньше $5\text{.}$

Попробуем найти подходящее число перебором чётных цифр $c\text{:}$

Пусть $c=2\text{.}$ Тогда сумма цифр $6+b+2=8+b$ делится на $3$ при $b=1$ (не подходит, так как $612<650$), $b=4$ (не подходит, так как $642<650$) или $b=7\text{.}$

Проверим число $672\text{:}$

Все условия выполнены: цифры различны, не равны нулю, число в заданном диапазоне и делится на свои цифры.

Другие возможные варианты (например, $735$ или $784$) также являются верными, но в ответе достаточно указать одно число.

Ответ: 672