Задача №13861

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $400\text{,}$ но меньшее $650\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры.

Согласно условию:
1. $400<\overline{abc}<650\text{,}$ следовательно, первая цифра $a$ может принимать значения $4\text{,}$ $5$ или $6\text{.}$
2. Все цифры различны ($a\ne b\text{,}$ $b\ne c\text{,}$ $a\ne c$) и не равны нулю.
3. Число $\overline{abc}$ должно делиться на каждую свою цифру: на $a\text{,}$ на $b$ и на $c\text{.}$

Рассмотрим возможные значения первой цифры $a\text{:}$

• Если $a=5\text{,}$ то число должно делиться на $5\text{.}$ Это означает, что последняя цифра $c$ должна быть либо $0\text{,}$ либо $5\text{.}$ Однако по условию цифры не равны $0\text{,}$ а цифра $5$ уже использована в качестве первой (цифры должны быть различны). Значит, чисел, начинающихся на $5\text{,}$ удовлетворяющих условию, не существует.

• Если $a=4\text{,}$ число должно быть чётным (так как оно делится на $4$). Рассмотрим значения для второй цифры $b\text{:}$

  • Пусть $b=1\text{.}$ Число принимает вид $\overline{41c}\text{.}$ Проверим $c=2\text{:}$ число $412\text{.}$
    • Оно делится на $4$ (так как последние две цифры $12$ делятся на $4$);
    • Оно делится на $1\text{;}$
    • Оно делится на $2$ (так как чётное).
    • Все цифры ($4\text{,}$ $1\text{,}$ $2$) различны и не равны нулю. Число $412$ подходит.
  • Пусть $b=3\text{.}$ Число принимает вид $\overline{43c}\text{.}$ Проверим $c=2\text{:}$ число $432\text{.}$
    • Оно делится на $4$ (так как $32$ делится на $4$);
    • Оно делится на $3$ (сумма цифр $4+3+2=9$ делится на $3$);
    • Оно делится на $2\text{.}$
    • Все цифры ($4\text{,}$ $3\text{,}$ $2$) различны и не равны нулю. Число $432$ подходит.

• Если $a=6\text{,}$ число должно быть чётным и делиться на $3$ (так как оно делится на $6$):

  • При $b=1$ и $c=2$ получаем число $612\text{.}$ Оно делится на $6$ (чётное и сумма цифр $9$), на $1$ и на $2\text{.}$ Подходит.
  • При $b=2$ и $c=4$ получаем число $624\text{.}$ Оно делится на $6$ (чётное и сумма цифр $12$), на $2$ и на $4$ (так как $24$ делится на $4$). Подходит.

В ответе необходимо указать одно такое число. Выберем $412\text{.}$

Ответ: 412