Задача №13860

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $3\text{,}$ и на $5\text{,}$ и на $7$ даёт в остатке $1\text{,}$ и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $n\text{.}$ По условию, при делении на $3\text{,}$ $5$ и $7$ оно даёт в остатке $1\text{.}$ Это означает, что число $n-1$ делится на $3\text{,}$ $5$ и $7$ без остатка.

Так как числа $3\text{,}$ $5$ и $7$ являются взаимно простыми, их наименьшее общее кратное равно их произведению:

Следовательно, искомое число можно представить в виде:

где $k$ — натуральное число. Найдём такие трёхзначные значения $n\text{,}$ цифры которых расположены в порядке убывания:

1. При $k=1\text{:}$ $n=105\cdot 1+1=106\text{.}$ Цифры: $1\text{,}$ $0\text{,}$ $6\text{.}$ Условие убывания не выполняется ($0<6$).
2. При $k=2\text{:}$ $n=105\cdot 2+1=211\text{.}$ Цифры: $2\text{,}$ $1\text{,}$ $1\text{.}$ Условие строгого убывания не выполняется ($1=1$).
3. При $k=3\text{:}$ $n=105\cdot 3+1=316\text{.}$ Цифры: $3\text{,}$ $1\text{,}$ $6\text{.}$ Не подходит ($1<6$).
4. При $k=4\text{:}$ $n=105\cdot 4+1=421\text{.}$ Проверим цифры: $4>2>1\text{.}$ Условие выполняется.
5. При $k=5\text{:}$ $n=105\cdot 5+1=526\text{.}$ Не подходит ($2<6$).
6. При $k=6\text{:}$ $n=105\cdot 6+1=631\text{.}$ Проверим цифры: $6>3>1\text{.}$ Условие выполняется.
7. При $k=7\text{:}$ $n=105\cdot 7+1=736\text{.}$ Не подходит ($3<6$).
8. При $k=8\text{:}$ $n=105\cdot 8+1=841\text{.}$ Проверим цифры: $8>4>1\text{.}$ Условие выполняется.
9. При $k=9\text{:}$ $n=105\cdot 9+1=946\text{.}$ Не подходит ($4<6$).

Подходящими числами являются $421\text{,}$ $631$ и $841\text{.}$ В ответе укажем одно из них.

Ответ: 421