Задача №13859

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число кратно 45, следовательно, оно должно делиться одновременно на 5 и на 9.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. По условию все цифры числа чётны, значит, последняя цифра может быть только 0.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. Пусть наше четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ Мы уже определили, что $d=0\text{.}$ Оставшиеся цифры $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ должны быть различными, чётными и отличными от 0. Доступные цифры: 2; 4; 6; 8.

3. Сумма цифр $S=a+b+c+0=a+b+c$ должна быть кратна 9. Оценим возможные суммы трёх различных цифр из набора $\{2;4;6;8\}\text{:}$

• Минимальная сумма: $2+4+6=12\text{.}$
• Максимальная сумма: $4+6+8=18\text{.}$

Единственное число в интервале от 12 до 18, которое делится на 9, — это 18. Таким образом, сумма цифр $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ должна быть равна 18. Это возможно только при использовании цифр 4, 6 и 8.

4. Из цифр 4, 6, 8 и 0 можно составить несколько чисел, удовлетворяющих условию (например, 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640).

Выберем любое из них, например, 4680.

Проверка:

• Число 4680 состоит из чётных различных цифр.
• $4680:45=104\text{.}$

Ответ: 4680.