Задача №13854

В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 10-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах с 7-й по 14-ю включительно живёт суммарно 18 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Пусть $x_i$ — количество жильцов в квартире с номером $i\text{.}$ По условию в каждой квартире живёт от 1 до 3 человек, то есть $1⩽x_i⩽3\text{.}$ Обозначим сумму жильцов в квартирах с $k$ по $m$ как $S_{k-m}\text{.}$

Из условия задачи имеем:
1. $S_{1-10}=12$
2. $S_{7-14}=18$

Нам необходимо найти общее количество жильцов во всех квартирах, то есть $S_{1-14}\text{.}$ Заметим, что:

Найдём возможные значения для суммы $S_{7-10}$ (жильцы в общих для обоих условий квартирах):

• Так как $S_{1-10}=S_{1-6}+S_{7-10}=12$ и в квартирах с 1-й по 6-ю живёт не менее 6 человек (минимум 1 в каждой), то $S_{7-10}=12-S_{1-6}⩽12-6=6\text{.}$
• Так как $S_{7-14}=S_{7-10}+S_{11-14}=18$ и в квартирах с 11-й по 14-ю живёт не более 12 человек (максимум 3 в каждой из 4 квартир), то $S_{7-10}=18-S_{11-14}⩾18-12=6\text{.}$

Следовательно, $S_{7-10}$ может быть равно только 6.

Теперь вычислим количество жильцов в квартирах с 11-й по 14-ю:

Общее количество жильцов в доме:

Ответ: 24