Задача №13853

Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее $500\text{,}$ которое при делении и на $8\text{,}$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $n=\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры. По условию $n<500\text{.}$

1. Число $n$ при делении на $8$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен $r\text{.}$ Так как остаток при делении на $5$ может принимать значения от $0$ до $4\text{,}$ а по условию он ненулевой, то $r\in \{1;2;3;4\}\text{.}$

2. Условие того, что $n$ даёт остаток $r$ при делении на $8$ и на $5\text{,}$ означает, что число $n-r$ делится нацело на $8$ и на $5\text{.}$ Следовательно, $n-r$ должно делиться на их наименьшее общее кратное:

Таким образом, $n=40k+r\text{,}$ где $k$ — целое число.

3. По условию первая справа цифра (единицы) является средним арифметическим двух других цифр:

4. Проверим возможные числа вида $n=40k+r$ в диапазоне от $100$ до $499\text{:}$

— При $k=5\text{:}$ числа $201,202,203,204\text{.}$
Для числа $201\text{:}$ $a=2,b=0,c=1\text{.}$ Проверка: $\frac{2+0}{2}=1\text{.}$ Условие выполняется.

— При $k=6\text{:}$ числа $241,242,243,244\text{.}$
Для числа $243\text{:}$ $a=2,b=4,c=3\text{.}$ Проверка: $\frac{2+4}{2}=3\text{.}$ Условие выполняется.

— При $k=10\text{:}$ числа $401,402,403,404\text{.}$
Для числа $402\text{:}$ $a=4,b=0,c=2\text{.}$ Проверка: $\frac{4+0}{2}=2\text{.}$ Условие выполняется.

— При $k=11\text{:}$ числа $441,442,443,444\text{.}$
Для числа $444\text{:}$ $a=4,b=4,c=4\text{.}$ Проверка: $\frac{4+4}{2}=4\text{.}$ Условие выполняется.

Любое из этих чисел ($201,243,402,444$) является верным ответом. Выберем $201\text{.}$

Ответ: 201