Задача №13851

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2448. В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{.}$ По условию оно кратно 5, значит, последняя цифра $d$ равна 0 или 5. Число, полученное записью цифр в обратном порядке, равно $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ По условию второе число также является четырёхзначным, поэтому его первая цифра $d\ne 0\text{,}$ следовательно, $d=5\text{.}$

Запишем разность исходного и второго чисел:

Разделим обе части уравнения на 9:

Заметим, что слагаемое $10(b-c)$ оканчивается на 0, поэтому число $111a$ должно оканчиваться на ту же цифру, что и 827, то есть на 7. Это возможно только при $a=7\text{.}$ Подставим значение $a$ в уравнение:

Подберём такие цифры $b$ и $c\text{,}$ чтобы их разность была равна 5. Например, пусть $c=0\text{,}$ тогда $b=5\text{.}$ В этом случае искомое число равно 7505.

Проверка: число 7505 кратно 5, обратное число 5057 является четырёхзначным, их разность $7505-5057=2448\text{.}$

Ответ: 7505