Задача №13846

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $2200\text{,}$ но меньшее $3000\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$

1. Согласно условию, $2200<\overline{abcd}<3000\text{.}$ Следовательно, первая цифра $a=2\text{.}$ Поскольку число должно делиться на каждую свою цифру, в его записи не может быть нуля (деление на ноль не определено). Также по условию все цифры должны быть различны.

2. Так как число делится на свою первую цифру $a=2\text{,}$ оно должно быть чётным. Значит, последняя цифра $d$ может принимать чётные значения. Учитывая, что цифры должны быть отличны от $0$ и $2\text{,}$ $d\in \{4;6;8\}\text{.}$

3. Попробуем найти число, у которого вторая цифра $b=3\text{.}$ Тогда число имеет вид $\overline{23cd}\text{.}$ Чтобы оно делилось на $3\text{,}$ сумма его цифр $2+3+c+d=5+c+d$ должна быть кратна $3\text{.}$

4. Рассмотрим вариант $d=6\text{.}$ Тогда сумма цифр равна $5+c+6=11+c\text{.}$ Чтобы эта сумма была кратна $3\text{,}$ цифра $c$ может быть равна $1\text{,}$ $4$ или $7\text{.}$

Проверим $c=1\text{.}$ Получаем число $2316\text{.}$

5. Проверка условий для числа $2316\text{:}$

• все цифры ($2;3;1;6$) различны;
• диапазон: $2200<2316<3000$ — верно;
• делимость на $2\text{:}$ число чётное — верно;
• делимость на $3\text{:}$ сумма цифр $12$ делится на $3$ — верно;
• делимость на $1\text{:}$ верно;
• делимость на $6\text{:}$ число делится на $2$ и на $3\text{,}$ значит, делится на $6$ — верно.

Число $2316$ удовлетворяет всем условиям задачи. Также подходящими являются числа $2364\text{,}$ $2436$ и другие.

Ответ: 2316