Задача №13845

Найдите четырёхзначное число, кратное $125\text{,}$ все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Согласно признаку делимости, число делится на $125$ тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на $125\text{.}$

Выпишем все трёхзначные числа, кратные $125\text{:}$
$125;250;375;500;625;750;875\text{.}$

По условию все цифры числа должны быть нечётными: $1,3,5,7,9\text{.}$ Проверим выписанные числа:

1. $125$ содержит чётную цифру $2\text{;}$
2. $250$ содержит чётные цифры $2$ и $0\text{;}$
3. $375$ состоит только из нечётных цифр ($3,7,5$);
4. $500$ содержит чётную цифру $0\text{;}$
5. $625$ содержит чётные цифры $6$ и $2\text{;}$
6. $750$ содержит чётную цифру $0\text{;}$
7. $875$ содержит чётную цифру $8\text{.}$

Таким образом, единственная подходящая комбинация для последних трёх цифр — $375\text{.}$ Искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{a375}\text{.}$

Цифры числа должны быть различны. Поскольку цифры $3,7,5$ уже использованы, на место первой цифры $a$ можно поставить оставшиеся нечётные цифры: $1$ или $9\text{.}$

Следовательно, условию удовлетворяют два числа: $1375$ и $9375\text{.}$

Ответ: $1375\text{.}$