Задача №13841

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число делится на 24, следовательно, оно делится на 3 и на 8. Число состоит только из цифр 1 и 2.

Пусть $a$ — количество единиц в числе. Тогда количество двоек равно $6-a\text{,}$ и сумма цифр равна $a\cdot 1+(6-a)\cdot 2=a+12-2a=12-a\text{.}$

Для делимости на 3 необходимо, чтобы сумма цифр делилась на 3, то есть $12-a$ делится на 3. Отсюда $a$ кратно 3: $a=0,3,6\text{.}$

Для делимости на 8 необходимо, чтобы число, образованное последними тремя цифрами, делилось на 8.

Рассмотрим случай $a=3\text{.}$ Тогда в числе три единицы и три двойки. Среди комбинаций из цифр 1 и 2, образующих трёхзначные числа, только 112 делится на 8.

Таким образом, последние три цифры — 112. Оставшиеся цифры — одна единица и две двойки. Их можно расположить, например, как 212, получая число 212112.

Проверяем: сумма цифр $2+1+2+1+1+2=9$ делится на 3, и число 112 делится на 8. Следовательно, 212112 делится на 24.

Ответ: 212112