Задача №13837

Найдите пятизначное натуральное число, кратное $3\text{,}$ сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое пятизначное натуральное число состоит из цифр $a,b,c,d,e\text{.}$ По условию задачи должны выполняться два требования:

1. Число кратно $3\text{.}$ Согласно признаку делимости, это означает, что сумма его цифр $a+b+c+d+e$ должна делиться на $3\text{.}$
2. Сумма цифр равна их произведению:

Заметим, что цифра $0$ не может входить в состав числа, так как в этом случае произведение цифр станет равным $0\text{,}$ а сумма цифр пятизначного числа всегда больше $0\text{.}$ Также, поскольку сумма цифр равна их произведению и при этом кратна $3\text{,}$ само произведение цифр также должно быть кратно $3\text{.}$ Это значит, что хотя бы одна из цифр числа должна быть кратна $3$ (то есть это цифра $3\text{,}$ $6$ или $9$).

Попробуем найти решение, используя несколько единиц, чтобы произведение не росло слишком быстро. Пусть три цифры числа равны $1\text{.}$ Тогда уравнение примет вид:

Откуда получаем:

По условию кратности $3$ сумма $3+d+e$ должна делиться на $3\text{,}$ следовательно, сумма $d+e$ также должна быть кратна $3\text{.}$ Рассмотрим возможные варианты для цифр $d$ и $e\text{:}$

1. Если $d+e=3$ (возможная пара цифр — $1$ и $2$): сумма равна $3+3=6\text{,}$ а произведение $1\cdot 2=2\text{.}$ Не подходит.
2. Если $d+e=6$ (возможная пара цифр — $3$ и $3$): сумма равна $3+6=9\text{,}$ а произведение $3\cdot 3=9\text{.}$ Условие $9=9$ выполняется.

Таким образом, набор цифр $1,1,1,3,3$ удовлетворяет всем условиям:
1. Число пятизначное.
2. Сумма цифр: $1+1+1+3+3=9$ (делится на $3$).
3. Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 1\cdot 3\cdot 3=9\text{.}$
4. Сумма равна произведению.

Одним из таких чисел является $11133\text{.}$

Ответ: $11133$