Задача №13833

На шести карточках написаны цифры 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Обозначим неизвестные цифры в выражении переменными:

где $A$ — однозначное число, $\overline{BC}=10B+C$ — двузначное число, $\overline{DEF}=100D+10E+F$ — трёхзначное число.

Запишем выражение для суммы через разряды:

По условию, сумма $S$ должна делиться на 20. Это означает, что она должна делиться на 10 и на 2.

1. Делимость на 10:
Для того чтобы число делилось на 10, его последняя цифра должна быть равна 0. Последняя цифра суммы определяется суммой единиц слагаемых, то есть величиной $A+C+F\text{.}$ Следовательно, $A+C+F$ должно делиться на 10.

Выберем три цифры из набора $\{3;6;7;7;8;9\}\text{,}$ сумма которых делится на 10. Так как минимальная сумма трёх различных карточек равна $3+6+7=16\text{,}$ а максимальная — $7+8+9=24\text{,}$ сумма $A+C+F$ может быть равна только 20.

Найдем возможные тройки цифр, дающие в сумме 20:

• $\{3;8;9\}$ (так как $3+8+9=20$)
• $\{6;7;7\}$ (так как $6+7+7=20$)

2. Делимость на 20:
Разделим выражение для суммы на 10:

Поскольку $A+C+F=20\text{,}$ получим:

Чтобы сумма $S$ делилась на 20, число $\frac{S}{10}$ должно быть четным. Так как слагаемые $10D$ и $2$ всегда четные, сумма десятков $B+E$ также должна быть четной.

Разберем два возможных случая:

• Случай 1: под единицы выбраны цифры $\{A,C,F\}=\{3;8;9\}\text{.}$
  Тогда для сотен и десятков остаются цифры $\{B,D,E\}=\{6;7;7\}\text{.}$ Чтобы сумма десятков $B+E$ была четной, мы обязаны выбрать две семерки: $B=7\text{,}$ $E=7$ (их сумма $7+7=14$ — четная). Тогда для сотен остается цифра $D=6\text{.}$

Вычислим итоговую сумму:

Пример такого распределения карточек:

• Случай 2: под единицы выбраны цифры $\{A,C,F\}=\{6;7;7\}\text{.}$
  Тогда для сотен и десятков остаются цифры $\{B,D,E\}=\{3;8;9\}\text{.}$ Из них четную сумму дают только 3 и 9: $B=3\text{,}$ $E=9$ (их сумма $3+9=12$ — четная). Для сотен остается цифра $D=8\text{.}$

Вычислим итоговую сумму:

Пример такого распределения карточек:

Оба значения (760 и 940) являются верными.