Задача №13832

Согласно рисунку, выражение имеет вид:

$$\square +\square \square +\square \square \square$$

Пусть это выражение записывается в виде:

$$A+\overline{BC}+\overline{DEF}$$

где $A,B,C,D,E,F$ — цифры на карточках из набора $\{1;2;3;3;4;7\}\text{.}$

Запишем сумму в развернутом виде:

$$S=A+(10B+C)+(100D+10E+F)=(A+C+F)+10(B+E)+100D.$$

Для того чтобы сумма $S$ делилась на 20, она должна в первую очередь делиться на 10, то есть оканчиваться на цифру 0. Последняя цифра суммы определяется суммой единиц: $A+C+F\text{.}$

Поскольку все карточки положительные, сумма трех цифр $A+C+F$ должна оканчиваться на 0. Максимально возможная сумма трех цифр из нашего набора равна $7+4+3=14\text{,}$ следовательно, сумма единиц $A+C+F$ должна быть ровно равна 10.

Найдем все возможные тройки цифр из набора, сумма которых равна 10:

1. $\{7,2,1\}$
2. $\{4,3,3\}$

Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти возможные значения суммы $S\text{.}$

Случай 1: Единицы равны $\{7,2,1\}\text{.}$
Тогда оставшиеся цифры для десятков и сотен — это $\{3,3,4\}\text{.}$

Выразим сумму через разряды:

$$S=(A+C+F)+10(B+E)+100D=10+10(B+E)+100D=10(1+B+E+10D).$$

Чтобы $S$ делилось на 20, число в скобках $1+B+E+10D$ должно быть четным. Поскольку $10D$ всегда четно при любом целом $D\text{,}$ выражение $1+B+E$ должно быть четным, откуда следует, что сумма $B+E$ должна быть нечетной.

Из оставшихся цифр $\{3,3,4\}$ мы можем составить нечетную сумму $B+E$ только одним способом: одна цифра равна 3, другая равна 4. Тогда $B+E=3+4=7\text{.}$
Оставшаяся цифра 3 идет в разряд сотен: $D=3\text{.}$

Подставим эти значения в формулу суммы:

$$S=10(1+7+30)=380.$$

Примером такого выражения может служить:

$$7+32+341=380.$$

Случай 2: Единицы равны $\{4,3,3\}\text{.}$
Тогда оставшиеся цифры для десятков и сотен — это $\{1,2,7\}\text{.}$

Как и в первом случае, сумма десятков $B+E$ должна быть нечетной.

Посмотрим, какие варианты для сотен $D$ возможны:

• Если $D=1\text{,}$ то десятками будут цифры $\{2,7\}\text{,}$ их сумма $B+E=2+7=9$ — нечетная. Тогда сумма равна:

$$S=10(1+9+10)=200.$$

Пример выражения:

$$4+23+173=200.$$

• Если $D=7\text{,}$ то десятками будут цифры $\{1,2\}\text{,}$ их сумма $B+E=1+2=3$ — нечетная. Тогда сумма равна:

$$S=10(1+3+70)=740.$$

Пример выражения:

$$4+13+723=740.$$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три возможные суммы: 200, 380 или 740.