Задача №13831

Найдите пятизначное число, кратное $18\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Чтобы число было кратно $18\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $2$ и на $9\text{:}$

• число делится на $2\text{,}$ если оно чётное (его последняя цифра $0;2;4;6$ или $8$);
• число делится на $9\text{,}$ если сумма его цифр делится на $9\text{.}$

2. Согласно условию, любые две соседние цифры числа отличаются на $2\text{.}$ Это означает, что все цифры в числе имеют одинаковую чётность. Так как число должно быть чётным (делиться на $2$), то и все его цифры должны быть чётными ($0;2;4;6;8$).

3. Сумма пяти чётных цифр — всегда число чётное. Чтобы эта сумма делилась на $9\text{,}$ она должна быть кратна $18$ (так как это ближайшее чётное число, делящееся на $9$). Возможные суммы цифр: $18,36\text{.}$

4. Попробуем составить число с суммой цифр $18\text{.}$ Пусть первая цифра равна $2\text{:}$

• если вторая цифра $4\text{,}$ третья $2\text{,}$ четвёртая $4\text{,}$ то их сумма равна $2+4+2+4=12\text{;}$
• чтобы сумма стала $18\text{,}$ пятая цифра должна быть $18-12=6\text{.}$

Проверим: соседние цифры в числе $24246$ отличаются на $2\text{:}$

Сумма цифр: $2+4+2+4+6=18$ (делится на $9$). Число оканчивается на $6$ (делится на $2$). Значит, число $24246$ кратно $18\text{.}$

Также подходят числа $42426,64242,86868\text{.}$

Ответ: $24246\text{.}$