Задача №13829

Про натуральные числа $A,B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 195. Какое число было загадано?

Пусть $X$ — загаданное число. По условию задачи натуральные числа $A,B$ и $C$ больше 6, но меньше 10, следовательно, они могут принимать значения 7, 8 или 9.

Запишем условие задачи в виде уравнения:

$X\cdot A+B-C=195\text{.}$

Выразим произведение $X\cdot A\text{:}$

$X\cdot A=195-(B-C)\text{.}$

Разность $B-C$ при заданных условиях может принимать значения из множества $\{-2;-1;0;1;2\}\text{.}$ Рассмотрим соответствующие значения для $X\cdot A\text{:}$

1. Если $B-C=2$ (например, $B=9;C=7$), то $X\cdot A=195-2=193\text{.}$

2. Если $B-C=1$ (например, $B=8;C=7$), то $X\cdot A=195-1=194\text{.}$

3. Если $B-C=0$ (например, $B=7;C=7$), то $X\cdot A=195-0=195\text{.}$

4. Если $B-C=-1$ (например, $B=7;C=8$), то $X\cdot A=195-(-1)=196\text{.}$

5. Если $B-C=-2$ (например, $B=7;C=9$), то $X\cdot A=195-(-2)=197\text{.}$

Поскольку $A$ является одним из чисел 7, 8 или 9, а $X$ — натуральное число, значение $X\cdot A$ должно нацело делиться на 7, 8 или 9. Проверим полученные числа:

• 193 не делится на 7, 8 или 9;
• 194 не делится на 7, 8 или 9;
• 195 не делится на 7, 8 или 9;
• 196 делится на 7: $196:7=28\text{.}$ На 8 и 9 не делится;
• 197 не делится на 7, 8 или 9.

Таким образом, единственно возможный вариант — $A=7\text{,}$ тогда $X=28\text{.}$

Проверка:
Если было загадано число 28, его умножили на $A=7\text{,}$ прибавили $B=7$ и вычли $C=8\text{,}$ то:

Условие выполняется, так как все числа $A,B,C$ находятся в интервале от 6 до 10.

Ответ: 28.