Задача №13828

Вычеркните в числе $87451257$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5 одновременно.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или на 5. В исходном числе $87451257$ нет нулей, поэтому искомое число должно оканчиваться на 5. В данном числе цифра 5 встречается дважды (на четвёртой и седьмой позициях).

• Если бы число оканчивалось на первую пятёрку (стоящую на 4-й позиции), нам пришлось бы вычеркнуть все цифры, стоящие после неё (1, 2, 5, 7), то есть 4 цифры. По условию же нужно вычеркнуть ровно 3 цифры.
• Следовательно, число должно оканчиваться на вторую пятёрку (стоящую на 7-й позиции). Для этого необходимо вычеркнуть последнюю цифру 7. Таким образом, одна из трёх вычеркиваемых цифр определена.

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
После вычеркивания последней цифры 7 остаётся набор цифр: 8, 7, 4, 5, 1, 2, 5. Сумма этих семи цифр равна:

Нам нужно вычеркнуть ещё 2 цифры из этого набора так, чтобы сумма оставшихся пяти цифр делилась на 3. Обозначим сумму двух этих цифр как $S\text{.}$ Тогда значение $32-S$ должно быть кратно 3. Ближайшие числа, меньшие 32 и кратные 3, — это 30, 27, 24, 21.

• Если $32-S=30\text{,}$ то $S=2\text{.}$ Единственная возможная пара цифр с такой суммой — $(1;1)\text{,}$ но единица в числе встречается только один раз.
• Если $32-S=27\text{,}$ то $S=5\text{.}$ Подходящая пара цифр из нашего набора — 4 и 1. Если вычеркнуть их (вместе с последней семёркой), получится число $87525\text{.}$
• Если $32-S=24\text{,}$ то $S=8\text{.}$ Подходящая пара — 7 (вторая цифра) и 1. После вычеркивания получим число $84525\text{.}$
• Если $32-S=21\text{,}$ то $S=11\text{.}$ Подходящая пара — 7 и 4. После вычеркивания получим число $85125\text{.}$

Проверим число $87525\text{:}$

• Оно оканчивается на 5, значит, делится на 5.
• Сумма цифр: $8+7+5+2+5=27\text{.}$ Так как 27 делится на 3, то и число делится на 3.
• Число $87525$ делится на 3 и на 5, следовательно, оно делится на 15.

Ответ: 87525