Задача №13827

Найдите четырёхзначное число, кратное $22\text{,}$ произведение цифр которого равно $40\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$

1. Число кратно $22\text{,}$ следовательно, оно одновременно кратно $2$ и $11\text{.}$

• Так как число кратно $2\text{,}$ его последняя цифра $d$ должна быть чётной. Из цифр, произведение которых даёт $40\text{,}$ это могут быть $2,4$ или $8\text{.}$
• Так как число кратно $11\text{,}$ знакочередующаяся сумма его цифр $a-b+c-d$ (или разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях $(a+c)-(b+d)$) должна делиться на $11\text{.}$

2. Произведение цифр равно $40\text{.}$ Разложим число $40$ на однозначные множители:

Возможные наборы цифр:

• $\{5;8;1;1\}\text{;}$
• $\{5;4;2;1\}\text{;}$
• $\{5;2;2;2\}\text{.}$

3. Проверим набор $\{5;4;2;1\}\text{.}$ Для чётности выберем $d=2\text{.}$ Попробуем расставить остальные цифры $\{1;4;5\}$ так, чтобы выполнялся признак делимости на $11\text{:}$

Если $b=4\text{,}$ то $a+c=6\text{.}$ Этому условию удовлетворяют цифры $1$ и $5$ (так как $1+5=6$).

4. Составим число из цифр $a=1,b=4,c=5,d=2\text{.}$ Получаем $1452\text{.}$

Проверка:

• Произведение цифр: $1\cdot 4\cdot 5\cdot 2=40\text{.}$
• Делимость на $22\text{:}$ $1452:22=66\text{.}$

Другими примерами подходящих чисел являются $1254,1518,5118,5412\text{.}$

Ответ: 1452.