Задача №13826

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $400\text{,}$ которое при делении и на $6\text{,}$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его цифр. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $n\text{.}$

1. По условию число $n$ при делении на $5$ и на $6$ даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен $r\text{.}$ Это означает, что число $n-r$ делится нацело и на $5\text{,}$ и на $6\text{.}$ Так как числа $5$ и $6$ взаимно просты, $n-r$ должно делиться на их произведение: $5\cdot 6=30\text{.}$

2. Таким образом, $n=30k+r\text{,}$ где $r\in \{1;2;3;4\}$ (остаток должен быть меньше любого из делителей и не равен нулю).

3. Также известно, что $n>400\text{.}$ Обозначим цифры числа как $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{.}$ Тогда $n=100a+10b+c\text{.}$ По условию первая цифра является средним арифметическим двух других:

4. Поскольку $n>400\text{,}$ первая цифра $a⩾4\text{.}$

5. Рассмотрим возможные значения $n\text{,}$ кратные $30$ (вид $30k$), и добавим к ним допустимые остатки $r\text{,}$ проверяя условие для цифр:

• Пусть $30k=420\text{.}$ Возможные числа: $421,422,423,424\text{.}$
  Для $a=4$ сумма $b+c$ должна быть равна $8\text{.}$ Ни в одном из этих чисел сумма второй и третьей цифр не равна $8\text{.}$

• Пусть $30k=450\text{.}$ Возможные числа: $451,452,453,454\text{.}$
  Проверим число $453\text{:}$

  • Цифры: $a=4,b=5,c=3\text{.}$
  • Проверка условия: $\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4\text{.}$ Условие выполняется.
  • Проверка остатков: $453=6\cdot 75+3$ (остаток $3$), $453=5\cdot 90+3$ (остаток $3$). Остатки равны и не равны нулю.

Число $453$ удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогично можно найти другие подходящие числа, например $573$ или $693\text{.}$

Ответ: 453