В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 148, во втором — 108, в третьем — 70, а сумма чисел в каждой строке больше 26, но меньше 29. Сколько всего строк в таблице?
Пусть n — количество строк в таблице. В таблице три столбца, поэтому всего 3n чисел.
Сумма всех чисел в таблице равна сумме чисел по столбцам:
S=148+108+70=326.С другой стороны, сумма чисел в каждой строке — натуральное число, и по условию она больше 26 и меньше 29, то есть может быть равна 27 или 28.
Пусть k строк имеют сумму 27, а m строк имеют сумму 28. Тогда n=k+m и сумма всех чисел:
S=27k+28m.Таким образом, получаем уравнение:
27k+28m=326.Так как k и m — целые неотрицательные числа, решим уравнение. Выразим k:
k=27326−28m.Поскольку k⩾0, имеем 326−28m⩾0, откуда m⩽11 (так как 28⋅11=308<326, а 28⋅12=336>326).
Переберём возможные значения m от 0 до 11:
1. При m=0: k=27326 — не целое.
2. При m=1: k=27298 — не целое.
3. При m=2: k=27270=10 — целое.
4. При m=3: k=27242 — не целое.
5. При m=4: k=27214 — не целое.
6. При m=5: k=27186 — не целое.
7. При m=6: k=27158 — не целое.
8. При m=7: k=27130 — не целое.
9. При m=8: k=27102 — не целое.
10. При m=9: k=2774 — не целое.
11. При m=10: k=2746 — не целое.
12. При m=11: k=2718 — не целое.
Итак, единственное решение: m=2, k=10. Следовательно, общее количество строк n=k+m=12.
Существование таблицы с такими суммами по строкам и столбцам следует из того, что переменных (чисел в клетках) больше, чем условий, и можно подобрать натуральные числа, удовлетворяющие всем требованиям. Таким образом, количество строк равно 12.
Ответ: 12
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ