Задача №13816

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма чисел в каждой строке была больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?

Пусть $n$ — количество строк в таблице. В каждой строке сумма чисел больше 12 и меньше 15. Поскольку все числа натуральные, сумма в строке — целое число, значит, она может быть равна 13 или 14.

Обозначим:

• $x$ — количество строк с суммой 13;
• $y$ — количество строк с суммой 14.

Тогда общее количество строк $n=x+y\text{.}$

Сумма всех чисел в таблице равна сумме по столбцам:

С другой стороны, эта же сумма равна сумме сумм по всем строкам:

Решим уравнение в целых неотрицательных числах. Перебираем возможные значения $x$ от 0 до $\lceil \frac{233}{13}\rceil =18\text{.}$

При $x=5\text{:}$

Для других значений $x$ значение $y$ не является целым числом.

Таким образом, единственное решение: $x=5\text{,}$ $y=12\text{,}$ откуда $n=5+12=17\text{.}$

Проверим, что существует таблица с такими суммами. Например, возьмём:

• 5 строк с числами $(5;4;4)\text{,}$ сумма 13;
• 9 строк с числами $(5;5;4)\text{,}$ сумма 14;
• 3 строки с числами $(5;4;5)\text{,}$ сумма 14.

Тогда:

• сумма первого столбца: $5\cdot 5+9\cdot 5+3\cdot 5=25+45+15=85\text{;}$
• сумма второго столбца: $5\cdot 4+9\cdot 5+3\cdot 4=20+45+12=77\text{;}$
• сумма третьего столбца: $5\cdot 4+9\cdot 4+3\cdot 5=20+36+15=71\text{.}$

Условия задачи выполнены, все числа натуральные.

Следовательно, таблица имеет 17 строк.

Ответ: 17