В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма чисел в каждой строке была больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?

Пусть n — количество строк в таблице. В каждой строке сумма чисел больше 12 и меньше 15. Поскольку все числа натуральные, сумма в строке — целое число, значит, она может быть равна 13 или 14. Обозначим: - x — количество строк с суммой 13; - y — количество строк с суммой 14. Тогда общее количество строк n = x + y . Сумма всех чисел в таблице равна сумме по столбцам: 85 + 77 + 71 = 233. С другой стороны, эта же сумма равна сумме сумм по всем строкам: 13x + 14y = 233. Решим уравнение в целых неотрицательных числах. Перебираем возможные значения x от 0 до (233)/(13) = 18 . При x = 5 : 13 * 5 + 14y = 233 => 65 + 14y = 233 => 14y = 168 => y = 12. Для других значений x значение y не является целым числом. Таким образом, единственное решение: x = 5 , y = 12 , откуда n = 5 + 12 = 17 . Проверим, что существует таблица с такими суммами. Например, возьмём: - 5 строк с числами (5; 4; 4) , сумма 13; - 9 строк с числами (5; 5; 4) , сумма 14; - 3 строки с числами (5; 4; 5) , сумма 14. Тогда: - сумма первого столбца: 5 * 5 + 9 * 5 + 3 * 5 = 25 + 45 + 15 = 85 ; - сумма второго столбца: 5 * 4 + 9 * 5 + 3 * 4 = 20 + 45 + 12 = 77 ; - сумма третьего столбца: 5 * 4 + 9 * 4 + 3 * 5 = 20 + 36 + 15 = 71 . Условия задачи выполнены, все числа натуральные. Следовательно, таблица имеет 17 строк. Ответ: 17

17