Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45 , сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Число кратно 45 , следовательно, оно делится на 5 и на 9 . 1. Делимость на 5 : последняя цифра числа равна 0 или 5 . Если последняя цифра 0 , то произведение всех цифр равно 0 . По условию сумма цифр на 1 меньше произведения, то есть сумма цифр должна равняться -1 , что невозможно для натурального числа. Значит, последняя цифра равна 5 . Обозначим цифры числа: a (тысячи), b (сотни), c (десятки) и d = 5 (единицы). Тогда число имеет вид abc5 , причём 1 a 9 , 0 b, c 9 . 2. Делимость на 9 : сумма цифр делится на 9 , то есть a + b + c + 5 делится на 9 . 3. Условие из задачи: сумма цифр на 1 меньше их произведения: a + b + c + 5 = a * b * c * 5 - 1 или 5 * a * b * c = (a + b + c + 5) + 1. 1 Обозначим сумму цифр S = a + b + c + 5 . Тогда из делимости на 9 : S делится на 9 . Для четырёхзначного числа S может принимать значения 9, 18, 27, 36 . Но максимально возможная сумма при a = b = c = 9 и d = 5 равна 9 + 9 + 9 + 5 = 32 , поэтому S может быть только 9, 18 или 27 . Подставим S в уравнение (1): 5 * a * b * c = S + 1 . Поскольку a * b * c — целое число, S + 1 должно делиться на 5 . - Если S = 9 , то S + 1 = 10 . Тогда 5 * a * b * c = 10 => a * b * c = 2 , а сумма первых трёх цифр a + b + c = S - 5 = 4 . - Если S = 18 , то S + 1 = 19 — не делится на 5 . - Если S = 27 , то S + 1 = 28 — не делится на 5 . Таким образом, единственный возможный случай: a + b + c = 4 и a * b * c = 2 . Найдём цифры a, b, c , удовлетворяющие этим условиям. Поскольку цифры целые неотрицательные и a 1 , единственный подходящий набор цифр — 1, 1 и 2 в некотором порядке. Действительно, 1 + 1 + 2 = 4 и 1 * 1 * 2 = 2 . Возможные варианты искомого числа: - a = 1, b = 1, c = 2 => 1125 ; - a = 1, b = 2, c = 1 => 1215 ; - a = 2, b = 1, c = 1 => 2115 . Проверим кратность 45 : 1125 : 45 = 25 (целое число); 1215 : 45 = 27 (целое число); 2115 : 45 = 47 (целое число). Ответ: 1125

1125