Задача №13811

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $45\text{,}$ сумма цифр которого на $1$ меньше их произведения. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Число кратно $45\text{,}$ следовательно, оно делится на $5$ и на $9\text{.}$

1. Делимость на $5\text{:}$ последняя цифра числа равна $0$ или $5\text{.}$

Если последняя цифра $0\text{,}$ то произведение всех цифр равно $0\text{.}$ По условию сумма цифр на $1$ меньше произведения, то есть сумма цифр должна равняться $-1\text{,}$ что невозможно для натурального числа. Значит, последняя цифра равна $5\text{.}$

Обозначим цифры числа: $a$ (тысячи), $b$ (сотни), $c$ (десятки) и $d=5$ (единицы). Тогда число имеет вид $\overline{abc5}\text{,}$ причём $1⩽a⩽9\text{,}$ $0⩽b,c⩽9\text{.}$

2. Делимость на $9\text{:}$ сумма цифр делится на $9\text{,}$ то есть $a+b+c+5$ делится на $9\text{.}$

3. Условие из задачи: сумма цифр на $1$ меньше их произведения:

или

Обозначим сумму цифр $S=a+b+c+5\text{.}$ Тогда из делимости на $9\text{:}$ $S$ делится на $9\text{.}$ Для четырёхзначного числа $S$ может принимать значения $9,18,27,36\text{.}$ Но максимально возможная сумма при $a=b=c=9$ и $d=5$ равна $9+9+9+5=32\text{,}$ поэтому $S$ может быть только $9,18$ или $27\text{.}$

Подставим $S$ в уравнение (1): $5\cdot a\cdot b\cdot c=S+1\text{.}$ Поскольку $a\cdot b\cdot c$ — целое число, $S+1$ должно делиться на $5\text{.}$

• Если $S=9\text{,}$ то $S+1=10\text{.}$ Тогда $5\cdot a\cdot b\cdot c=10\Rightarrow a\cdot b\cdot c=2\text{,}$ а сумма первых трёх цифр $a+b+c=S-5=4\text{.}$
• Если $S=18\text{,}$ то $S+1=19$ — не делится на $5\text{.}$
• Если $S=27\text{,}$ то $S+1=28$ — не делится на $5\text{.}$

Таким образом, единственный возможный случай: $a+b+c=4$ и $a\cdot b\cdot c=2\text{.}$

Найдём цифры $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющие этим условиям. Поскольку цифры целые неотрицательные и $a⩾1\text{,}$ единственный подходящий набор цифр — $1,1$ и $2$ в некотором порядке. Действительно, $1+1+2=4$ и $1\cdot 1\cdot 2=2\text{.}$

Возможные варианты искомого числа:

• $a=1,b=1,c=2\Rightarrow 1125\text{;}$
• $a=1,b=2,c=1\Rightarrow 1215\text{;}$
• $a=2,b=1,c=1\Rightarrow 2115\text{.}$

Проверим кратность $45\text{:}$
$1125:45=25$ (целое число);
$1215:45=27$ (целое число);
$2115:45=47$ (целое число).

Ответ: 1125